Để tìm số tự nhiên \( n \) theo các câu hỏi a) và b), ta sẽ giải quyết lần lượt từng phần.

### Phần a)
Ta có phương trình:

\[
\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{3}{10}
\]

Tính giá trị các phân số đầu tiên:

\[
\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}, \quad \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}, \quad \frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}
\]

Tìm tổng của các phân số này:

\[
\text{Tổng} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}
\]

Đưa về cùng mẫu số:

- Mẫu số chung nhỏ nhất của 12, 20, và 30 là 60:

\[
\frac{1}{12} = \frac{5}{60}, \quad \frac{1}{20} = \frac{3}{60}, \quad \frac{1}{30} = \frac{2}{60}
\]

Vậy tổng là:

\[
\frac{5 + 3 + 2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}
\]

Thay vào phương trình trên:

\[
\frac{1}{6} + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{3}{10}
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6}
\]

Tìm mẫu số chung của \(\frac{3}{10}\) và \(\frac{1}{6}\):

- Mẫu số chung của 10 và 6 là 30:

\[
\frac{3}{10} = \frac{9}{30}, \quad \frac{1}{6} = \frac{5}{30}
\]

Vậy:

\[
\frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{2}{15} \implies n(n + 1) = \frac{15}{2}
\]

Kết luận rằng \( n(n + 1) \) không thể bằng \(\frac{15}{2}\) trong số tự nhiên. Chúng ta kiểm tra lại các phép biến đổi:

Đúng là tổng các giá trị \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{20}\), và \(\frac{1}{30}\) là \(\frac{1}{6}\). Vậy điều này có vẻ sai. Tuy nhiên, ta nên thử lại:

\[
n(n + 1) = \frac{15}{2} \text{ không phải số nguyên, cản trở giải quyết}.
\]

### Phần b)
Ta có:

\[
\frac{5}{1 \cdot 6} + \frac{5}{6 \cdot 11} + \ldots + \frac{5}{(5n + 1)(5n + 6)} = \frac{2020}{2021}
\]

Rút \( 5 \) ra ngoài:

\[
5\left(\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(5n + 1)(5n + 6)}\right) = \frac{2020}{2021}
\]

Chia cả hai vế cho 5:

\[
\frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(5n + 1)(5n + 6)} = \frac{404}{2021}
\]

Tính lượng tổng:

\[
\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(5k + 1)(5k + 6)} = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{5k + 1} - \frac{1}{5k + 6}\right)
\]

Sử dụng tổng này thể hiện tổng hợp và tính chính xác.

Như vậy, quá trình tìm số tự nhiên giải quyết các hàm tiệm cận sẽ dẫn đến giải đoạn tiếp theo mà không xác định chính xác.

Cuối cùng, nếu bạn muốn có thêm thông tin hoặc có thắc mắc về các bước tính toán, vui lòng hỏi.