Để chứng minh biểu thức \( A = x^2 + 6x + 10 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \), chúng ta có thể biến đổi nó thành dạng hoàn thành bình phương.

Bắt đầu từ biểu thức:

\[
A = x^2 + 6x + 10
\]

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 6x \):

\[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
\]

Thay vào biểu thức \( A \):

\[
A = (x + 3)^2 - 9 + 10
\]

Đơn giản hóa:

\[
A = (x + 3)^2 + 1
\]

Biểu thức \( (x + 3)^2 \) luôn không âm (vì bình phương của bất kỳ số nào cũng không âm), và bất kỳ giá trị nào mà nó đạt được sẽ là lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, thêm 1 vào nó sẽ đảm bảo rằng \( A \) luôn lớn hơn 0:

\[
A \geq 0 + 1 = 1
\]

Vì vậy, \( A \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

Kết luận, \( A = x^2 + 6x + 10 \) luôn dương với mọi biến \( x \).