Chứng minh tam giác ABC= tam giácMNC

Để chứng minh tam giác ABC = tam giác MNC và các kết quả đã nêu, ta tiến hành từng phần như sau:

### a. Chứng minh: tg ABC = tg MNC

- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), và \( C(0, c) \).
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
tg \angle ABC = \frac{c}{b}
\]

- M là điểm sao cho C là trung điểm của AM, điều này có nghĩa là:
\[
M(2 \cdot 0, 2 \cdot c) = (0, 2c)
\]

- N là điểm sao cho C là trung điểm của BN, vì vậy:
\[
N(b + 0, 0 + 2c) = (b, 2c)
\]

- Tính tg của góc MNC:
- Tọa độ của điểm M là \(M(0, 2c)\) và N là \(N(b, 2c)\).
- Độ chênh lệch y giữa M và N là \(0\), và độ chênh lệch x là \(b\).

\[
tg \angle MNC = \frac{2c - c}{b - 0} = \frac{c}{b}
\]

- Do đó, ta có:
\[
tg \angle ABC = tg \angle MNC \Rightarrow \angle ABC = \angle MNC
\]

### b. Chứng minh: CM vuông góc MN, MN // AB

- Để chứng minh \(CM \perp MN\), ta có thể xét các vectơ:
- Vectơ CM từ \(C(0, c)\) đến \(M(0, 2c)\) là \(CM = (0, 2c - c) = (0, c)\).
- Vectơ MN từ \(M(0, 2c)\) đến \(N(b, 2c)\) là \(MN = (b - 0, 2c - 2c) = (b, 0)\).

- Hai vectơ này vuông góc với nhau vì:
\[
CM \cdot MN = 0 \cdot b + c \cdot 0 = 0
\]

- Từ đó, \(CM \perp MN\). Đồng thời, vì AB nằm trên trục hoành (y = 0), ta có \(MN // AB\).

### c. Chứng minh: AN // BM

- AN và BM là hai đường thẳng trong không gian.
- Do \(C\) là trung điểm của \(AM\) và \(C\) cũng là trung điểm của \(BN\), điểm \(C\) có tác dụng như một điểm tham chiếu chung.
- Vì M và N nằm trên cùng một đường thẳng song song với AB (do MN // AB), và A là một điểm trên AN trong khi B nằm trên BM.
- Do đó, các đường thẳng AN và BM phải song song với nhau.

### d. Lấy H thuộc AN; K thuộc BM sao cho AH = KM, chứng minh H, C, K thẳng hàng

- Vì \(H\) thuộc \(AN\) và \(K\) thuộc \(BM\), ta có:
- Gọi tọa độ của H là \(H(x_H, y_H)\) thuộc đường thẳng AN.
- Gọi tọa độ của K là \(K(x_K, y_K)\) thuộc đường BM.

- Ta có \(AH = KM\) có nghĩa là khoảng cách giữa A và H bằng khoảng cách giữa K và M.

- Xét C là trung điểm của AM và BN, ta có thể khẳng định rằng H, C và K sẽ thẳng hàng nếu H và K được xác định sao cho phần đoạn AH và KM đều bằng nhau.

- Khẳng định \(H\), \(C\), \(K\) thẳng hàng dựa vào việc các điểm này được xác định để tạo thành các đoạn thẳng cùng chiều và tỉ lệ tương ứng.

Kết luận, ta đã chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho.