Hãy cùng chứng minh từng hằng đẳng thức một theo thứ tự a), b), c) và d).

### a) Chứng minh hằng đẳng thức:
\[ 3(A^2 + B^2 + C^2) = (A + B + C)^2 + (A - B)^2 + (B - C)^2 + (C - A)^2. \]

**Bước 1:** Tính từng vế của hằng đẳng thức.

- Tính vế bên trái:
\[
3(A^2 + B^2 + C^2).
\]

- Tính vế bên phải:
\[
(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB + AC + BC),
\]
\[
(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\]
\[
(B - C)^2 = B^2 - 2BC + C^2,
\]
\[
(C - A)^2 = C^2 - 2CA + A^2.
\]

Tính tổng các vế phải lại:
\[
(A + B + C)^2 + (A - B)^2 + (B - C)^2 + (C - A)^2
\]
\[
= (A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB + AC + BC)) + (A^2 - 2AB + B^2) + (B^2 - 2BC + C^2) + (C^2 - 2CA + A^2).
\]

Tính toán thu gọn:
\[
= 3(A^2 + B^2 + C^2) + 2(AB + AC + BC - AB - BC - CA) = 3(A^2 + B^2 + C^2).
\]

=> Vậy hằng đẳng thức a) được chứng minh.

### b) Chứng minh hằng đẳng thức:
\[ (AB + BC + CA)^2 = A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2 + 2ABC(A + B + C). \]

**Bước 2:** Tính vế bên trái:
\[
(AB + BC + CA)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 + (CA)^2 + 2(AB \cdot BC + BC \cdot CA + CA \cdot AB).
\]
=> Kết quả sẽ có dạng:
\[
= A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2 + 2ABC(A + B + C).
\]
=> Vậy hằng đẳng thức b) được chứng minh.

### c) Chứng minh hằng đẳng thức:
\[ (A - B)^4 = A^4 - 4A^3B + 6A^2B^2 - 4AB^3 + B^4. \]

**Bước 3:** Tính vế bên trái:
\[
(A - B)^4 = (A - B)^2 \cdot (A - B)^2.
\]
Tính \((A - B)^2\):
\[
= A^2 - 2AB + B^2.
\]
Tiến hành bình phương:
\[
(A^2 - 2AB + B^2)(A^2 - 2AB + B^2).
\]
=> Vận dụng tính chất khai thác đa thức để thu gọn sẽ cho kết quả:
\[
= A^4 - 4A^3B + 6A^2B^2 - 4AB^3 + B^4.
\]
=> Vậy hằng đẳng thức c) được chứng minh.

### d) Chứng minh hằng đẳng thức:
\[ (A + B)^4 + (A - B)^4 = 2(A^4 + 6A^2B^2 + B^4). \]

**Bước 4:** Chứng minh cho từng vế.
- Tính \((A + B)^4\):
\[
= A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4.
\]
- Tính \((A - B)^4\):
\[
= A^4 - 4A^3B + 6A^2B^2 - 4AB^3 + B^4.
\]

Cộng hai vế lại với nhau:
\[
(A + B)^4 + (A - B)^4 = (A^4 + B^4 + 6A^2B^2) + (A^4 + B^4 + 6A^2B^2) = 2(A^4 + 6A^2B^2 + B^4).
\]

=> Vậy hằng đẳng thức d) được chứng minh.

### Kết luận
Tất cả các hằng đẳng thức trên đã được chứng minh.