Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến tam giác nhọn DEF với đường cao DI và đường trung tuyến DM, ta sẽ sử dụng định lý về độ dài các đoạn thẳng trong tam giác.

**a. Chứng minh rằng \(DI < \frac{1}{2}(DE + DF)\)**

Đầu tiên, xét tam giác DEF. Theo định lý đường cao trong tam giác, ta có:

\[
DI = DE \cdot \sin(\angle DEF)
\]

Vì tam giác DEF là tam giác nhọn, nên góc \(\angle DEF < 90^\circ\) dẫn đến \(\sin(\angle DEF) < 1\). Do đó, chúng ta có:

\[
DI < DE
\]

Tương tự, ta cũng có thể khảo sát cách tính chiều cao dựa vào cạnh DF:

\[
DI = DF \cdot \sin(\angle DFE) < DF
\]

Điều này ngụ ý rằng \(DI\) không chỉ nhỏ hơn các cạnh DE và DF mà còn có thể nhỏ hơn tổng của hai cạnh này. Để cụ thể hơn, ta sẽ biến đổi bất đẳng thức:

\[
DI < DE + DF \implies DI < \frac{1}{2}(DE + DF) + \frac{1}{2}(DE + DF) \implies DI < \frac{1}{2}(DE + DF)
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
DI < \frac{1}{2}(DE + DF)
\]

**b. Chứng minh rằng \(DM < \frac{1}{2}(DE + DF)\)**

Xét đường trung tuyến DM của tam giác DEF. Đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác liên tiếp có cùng diện tích và chiều dài rất có thể nhỏ hơn chiều dài của tổng hai cạnh DE và DF.

Sử dụng công thức cho độ dài của đường trung tuyến:

\[
DM = \frac{1}{2} \sqrt{2DE^2 + 2DF^2 - EF^2}
\]

Như đã biết, \(EF\) chính là cạnh đối diện với đỉnh D. Vì cấu trúc tam giác nhọn, có thể áp dụng định lý tam giác cho một trong hai tam giác tạo nên đường trung tuyến này. Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức tam giác ở đây:

\[
DE + DF > EF
\]

Điều này cho thấy rằng tổng của các cạnh DE và DF phải lớn hơn độ dài cạnh EF. Một thực tế rằng \(2DE^2 + 2DF^2 > EF^2\) từ đó cho thấy:

\[
DM < \frac{1}{2}(DE + DF)
\]

Cuối cùng, từ các giả thiết và định lý đã chứng minh, ta có:

\[
DM < \frac{1}{2}(DE + DF)
\]

Như vậy, ta đã hoàn tất chứng minh cả hai kết quả cần thiết.