Để chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE trong tam giác ABC như đã mô tả, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và hình chiếu vuông góc.

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm cấu thành hình
Giả sử điểm A có tọa độ \( A(0, h) \), điểm B là \( B(a, 0) \), và điểm C là \( C(b, 0) \) với \( a < b \). Ta vẽ đường thẳng BC và kẻ đường cao AH từ A xuống BC, với H là giao điểm của AH và BC.

### Bước 2: Xác định vị trí điểm D và E
- Điểm D được dựng sao cho \( AD \perp AB \) và \( AD = AB \)
- Điểm E được dựng sao cho \( AE \perp AC \) và \( AE = AC \)

### Bước 3: Tính toán tọa độ điểm D và E
- Tọa độ điểm D sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với AB từ A với độ dài AD.
- Tọa độ điểm E sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với AC từ A với độ dài AE.

### Bước 4: Tính toán tọa độ điểm M
Ta tính tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng DE. Nếu tọa độ D là \( (x_D, y_D) \) và tọa độ E là \( (x_E, y_E) \):
\[
M = \left( \frac{x_D + x_E}{2}, \frac{y_D + y_E}{2} \right)
\]

### Bước 5: Chứng minh M là trung điểm của DE
1. Gọi K và L lần lượt là các điểm vuông góc với HM tại các điểm D và E.
2. Ta có:
\[
DK \perp HM \quad \text{và} \quad EL \perp HM
\]
Suy ra, D và E sẽ có cùng khoảng cách từ H đến đường thẳng DE.

2. Khi đó, bởi vì H là một điểm chính giữa đoạn thẳng DE (do tính chất của hình chiếu vuông góc), có sự đối xứng qua điểm H.

3. Từ tính đối xứng thì M là nơi chia DE thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

### Kết luận
Do vậy, M là trung điểm của đoạn thẳng DE, tức là:
\[
\overline{DM} = \overline{ME}
\]
Điều này chứng tỏ rằng M là trung điểm của DE như đã yêu cầu.