Tìm dư trong phép chia 3^2024 cho 13; phép chia 5^2024 cho 7

Để tìm dư trong phép chia \( 3^{2024} \) cho 13 và \( 5^{2024} \) cho 7, chúng ta có thể sử dụng Định lý Fermat.

1. **Tìm dư của \( 3^{2024} \) cho 13**:

Theo Định lý Fermat, nếu \( p \) là một số nguyên tố và \( a \) là một số không chia hết cho \( p \), thì:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]
Ở đây, \( p = 13 \) và \( a = 3 \). Theo đó:
\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Ta cần tính \( 3^{2024} \mod 13 \). Đầu tiên, ta tính \( 2024 \mod 12 \):
\[
2024 \div 12 = 168 \text{ (lấy nguyên)}, \quad 2024 - 168 \times 12 = 0
\]
Vậy \( 2024 \equiv 0 \mod 12 \).

Sử dụng tính chất trên, ta có:
\[
3^{2024} = (3^{12})^{168} \equiv 1^{168} \equiv 1 \mod 13
\]

Vậy \( 3^{2024} \mod 13 \) cho ra dư \( 1 \).

2. **Tìm dư của \( 5^{2024} \) cho 7**:

Lại sử dụng Định lý Fermat, với \( p = 7 \) và \( a = 5 \):
\[
5^{6} \equiv 1 \mod 7
\]

Ta cần tính \( 5^{2024} \mod 7 \). Tính \( 2024 \mod 6 \):
\[
2024 \div 6 = 337 \text{ (lấy nguyên)}, \quad 2024 - 337 \times 6 = 2
\]
Vậy \( 2024 \equiv 2 \mod 6 \).

Sử dụng tính chất trên, ta có:
\[
5^{2024} \equiv 5^2 \mod 7
\]

Tính \( 5^2 \):
\[
5^2 = 25
\]
Tính \( 25 \mod 7 \):
\[
25 \div 7 = 3 \text{ (lấy nguyên)}, \quad 25 - 3 \times 7 = 4
\]
Vậy \( 5^{2024} \mod 7 \) cho ra dư \( 4 \).

Tóm lại, kết quả là:
- Dư của \( 3^{2024} \) khi chia cho 13 là \( 1 \).
- Dư của \( 5^{2024} \) khi chia cho 7 là \( 4 \).