Để giải bài toán, ta gọi:

- \( x \) là tổng số học sinh của lớp 7H.
- \( y \) là số học sinh giỏi trong học kỳ 1.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

1. Trong học kỳ 1:
\[
y = \frac{1}{3}(x - y)
\]
Từ đó, ta có:
\[
3y = x - y
\]
\[
4y = x
\]
(1)

2. Sang học kỳ 2, số học sinh giỏi tăng thêm 5 bạn, tức là:
\[
y + 5 = \frac{3}{5}(x - (y + 5))
\]
Từ đó, ta có:
\[
y + 5 = \frac{3}{5}(x - y - 5)
\]
Nhân cả hai vế với 5 để hết phân số:
\[
5(y + 5) = 3(x - y - 5)
\]
\[
5y + 25 = 3x - 3y - 15
\]
\[
5y + 3y = 3x - 15 - 25
\]
\[
8y = 3x - 40
\]
(2)

Bây giờ ta thay \( x \) từ phương trình (1) vào phương trình (2):
\[
8y = 3(4y) - 40
\]
\[
8y = 12y - 40
\]
\[
40 = 12y - 8y
\]
\[
40 = 4y
\]
\[
y = 10
\]

Vậy, số học sinh giỏi trong học kỳ 1 của lớp 7H là **10 học sinh**.