Để chứng minh 3 điểm \( H, M, N \) thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm trong bài toán:**
- Giả sử \( H \), \( M \) và \( N \) là các điểm đã cho trong bài.
- \( H \) là điểm trên đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \).
- \( N \) là điểm mà bạn đã xác định từ trước (giả sử là trên đoạn \( AK \)).

2. **Sử dụng tính chất của các tam giác:**
- Từ điều kiện tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
\[
AH \perp BC
\]
và \( H \) là chân đường cao.

3. **Xác minh của các đoạn thẳng:**
- \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên ta có \( AM = MC \).
- Nếu \( H \) nằm trên đường phân giác \( AD \) và \( N \) nằm trên đoạn \( AK \), chúng ta cần xem xét hình học để xác định \( H \), \( M \) và \( N \) có thẳng hàng hay không.

4. **Chứng minh tính chất thẳng hàng:**
- Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( AIC \) với các điểm \( H, M, N \):
- Nếu ta có:
\[
\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1
\]
- Điều này sẽ chứng minh rằng \( H, M, N \) thẳng hàng.

5. **Hoàn tất chứng minh:**
- Kết thúc với việc giải thích hình của tam giác và các đoạn thẳng. Ghi chú ngắn gọn là ba điểm này nằm trên một đường thẳng nếu tồn tại tỉ số như trên.

Tóm lại, ta có thể chứng minh 3 điểm \( H, M, N \) thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất hình học và định lý Menelaus.