Để tính \( A = x^3 + \frac{8}{x^3} \) khi biết \( x^2 + \frac{4}{x^2} = 21 \), trước tiên chúng ta sẽ biến đổi biểu thức \( x^2 + \frac{4}{x^2} \).

Đặt \( y = x + \frac{2}{x} \). Ta có:

\[
y^2 = \left( x + \frac{2}{x} \right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2 + \frac{4}{x^2} + 4
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4
\]

Thay vào phương trình đã cho:

\[
y^2 - 4 = 21 \implies y^2 = 25 \implies y = 5 \text{ hoặc } y = -5
\]

Bây giờ, để tính \( x^3 + \frac{8}{x^3} \), chúng ta cũng cần biết cách tính nó bằng \( y \).

Ta có công thức sau cho \( x^3 + \frac{8}{x^3} \):

\[
x^3 + \frac{8}{x^3} = \left( x + \frac{2}{x} \right)^3 - 3\left( x + \frac{2}{x} \right) \cdot 2 = y^3 - 3 \cdot y \cdot 2
\]

Tính \( y^3 \) với \( y = 5 \):

\[
y^3 = 5^3 = 125
\]
\[
x^3 + \frac{8}{x^3} = 125 - 3 \cdot 5 \cdot 2 = 125 - 30 = 95
\]

Với \( y = -5 \):

\[
y^3 = (-5)^3 = -125
\]
\[
x^3 + \frac{8}{x^3} = -125 - 3 \cdot (-5) \cdot 2 = -125 + 30 = -95
\]

Tóm lại, các giá trị của \( A = x^3 + \frac{8}{x^3} \) là:

\[
A = 95 \text{ hoặc } A = -95
\]

Tuy nhiên, vì câu hỏi không yêu cầu chúng ta cụ thể giá trị nào, chúng ta có thể kết luận là:

\[
A = 95 \text{ và } A = -95
\]

Nếu giá trị \( x \) là dương thì \( A = 95 \). Còn nếu \( x \) là âm, thì \( A = -95 \).