Để chứng minh bài toán đã đề cập, ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Đường tròn nội tiếp** và **đường tròn ngoại tiếp**: Từ tam giác ABC, ta có điểm A, B, C. Do AM là trung tuyến, ta có MB = MC và AM là đoạn thẳng nối từ A đến trung điểm của BC.

2. **Dựng đoạn thẳng AE**: Ta có AE vuông góc với AB và AE = AB. Điều này có nghĩa là A, E, và B tạo thành một tam giác vuông tại E. Tương tự, dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC.

3. **Xem xét các đoạn thẳng liên quan**:

a) Ta có FB = EC do MB = MC và AE = AB, suy ra BE = EC.

b) EF = 2AM: Do AE = AB, nên EF cũng bằng AB và cùng chiều với AM.

c) AM // EF: Ta đã chứng minh EF song song với AM do chúng cùng vuông góc với hai cạnh AB và AC.

4. **Chúng ta cần chỉ ra rằng**: Rằng ba điểm A, E và F thoả mãn điều kiện mà bài toán đưa ra, và từ đó chứng minh rằng:

\[
A = |x-a| + |x-b| + |x-c| + |x-d|
\]

khi mà a, b, c, d là các số thực tổn tại các vị trí khác nhau trên trục số.

### Kết luận
Các đoạn thẳng đã được dựng đảm bảo rằng A là giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x-a| + |x-b| + |x-c| + |x-d|, trong đó x là biến logic sử dụng trong việc tối thiểu hóa.

Bạn có thể áp dụng các quy tắc trên để từ đó xác định các vị trí của điểm A, B, C, D theo các quy tắc của hình học Euclid trong tam giác và tính chất hình học của các đoạn thẳng để thực hiện các bước tính toán chính xác hơn.