Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của hình thang và một số kiến thức về hình học.

### a) Tính AH

Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot AH}{2}
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích của hình thang,
- \( AB \) và \( CD \) là độ dài hai đáy,
- \( AH \) là chiều cao.

Từ dữ liệu bài toán, chúng ta có:
- \( AB = 7 \) cm,
- \( CD = 15 \) cm,
- \( S = 66 \) cm².

Thay các giá trị vào công thức diện tích:

\[
66 = \frac{(7 + 15) \cdot AH}{2}
\]

Tính tổng độ dài của hai đáy:

\[
7 + 15 = 22
\]

Thay vào công thức diện tích:

\[
66 = \frac{22 \cdot AH}{2}
\]

Tính toán tiếp:

\[
66 = 11 \cdot AH
\]

Chia cả hai vế cho 11:

\[
AH = \frac{66}{11} = 6 \text{ cm}
\]

### b) Tính diện tích tam giác ABC

Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta cần chiều cao AH và chỉ cần tìm chiều dài BCb (đoạn thẳng từ B đến C). Để làm điều này, nhận xét rằng diện tích tam giác ABC là:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

Chúng ta đã biết \( AB = 7 \) cm và \( AH = 6 \) cm:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = \frac{42}{2} = 21 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận:
a) Chiều cao \( AH = 6 \) cm.
b) Diện tích tam giác \( ABC = 21 \) cm².