Để giải bài toán này, chúng ta giả sử vận tốc ban đầu của người đó là \( v \) km/h.

1. Quãng đường từ A đến B là 96 km, do đó quãng đường từ A đến điểm giữa là \( 48 \) km (1/2 quãng đường).
2. Thời gian để đi quãng đường này là:
\[
t_1 = \frac{48}{v} \text{ giờ}
\]
3. Sau khi đi được 48 km, người đó dừng lại 18 phút. Chuyển đổi 18 phút sang giờ:
\[
18 \text{ phút} = \frac{18}{60} = 0.3 \text{ giờ}
\]
4. Tổng thời gian cho quãng đường từ A đến B là \( t = \frac{96}{v} \) giờ. Thời gian còn lại để đến B sau khi dừng lại là:
\[
t - \left(t_1 + 0.3\right) = \frac{96}{v} - \left(\frac{48}{v} + 0.3\right)
\]
\[
= \frac{96 - 48}{v} - 0.3 = \frac{48}{v} - 0.3
\]
5. Quãng đường còn lại từ điểm giữa đến B là 48 km. Vận tốc tăng lên 2 km/h, do đó vận tốc lúc này là \( v + 2 \) km/h. Thời gian để đi quãng đường 48 km với vận tốc mới là:
\[
t_2 = \frac{48}{v + 2} \text{ giờ}
\]
6. Theo yêu cầu đề bài, thời gian đi quãng đường còn lại phải bằng thời gian còn lại sau khi dừng. Do đó, có phương trình:
\[
\frac{48}{v + 2} = \frac{48}{v} - 0.3
\]
7. Nhân cả hai bên phương trình với \( v(v + 2) \) để loại bỏ mẫu:
\[
48v = (48 - 0.3v)(v + 2)
\]
\[
48v = 48v + 96 - 0.3v^2 - 0.6v
\]
\[
0 = 96 - 0.3v^2 - 0.6v
\]
\[
0.3v^2 + 0.6v - 96 = 0
\]
8. Để đơn giản hóa phương trình, ta nhân cả phương trình với 10:
\[
3v^2 + 6v - 960 = 0
\]
9. Sử dụng công thức nghiệm bậc 2:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-960)}}{2 \cdot 3}
\]
\[
= \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 11520}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{11556}}{6}
\]
\[
= \frac{-6 \pm 107.5}{6}
\]

Tính toán nghiệm:
- Nghiệm dương:
\[
v = \frac{101.5}{6} \approx 16.92 \text{ km/h}
\]
- Nghiệm âm không hợp lệ.

Vận tốc ban đầu \( v \approx 16.92 \text{ km/h} \).

10. Thời gian xe lăn bánh trên đường:
\[
t_1 = \frac{48}{v} = \frac{48}{16.92} \approx 2.84 \text{ giờ} \approx 2 giờ 50 phút.
\]

Kết luận:
- Vận tốc ban đầu: \( v \approx 16.92 \text{ km/h} \)
- Thời gian xe lăn bánh trên đường: \( t_1 \approx 2 \text{ giờ } 50 \text{ phút} \)