Để chứng minh rằng tam giác \( \triangle ABC \) đồng dạng với tam giác \( \triangle HAC \), ta có thể làm theo các bước dưới đây:

### a) Chứng minh \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle HAC \)

1. **Xét các góc:**
- Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle A = 90^\circ \).
- Tam giác \( \triangle HAC \) cũng có góc \( H \) vuông (do \( AH \) là đường cao vẽ từ \( A \)).

2. **Xét hai góc còn lại:**
- Góc \( \angle ABC \) tương ứng với góc \( \angle HAC \) (có chung cạnh \( AC \)).
- Do đó, ta có:
\[
\angle A = \angle H = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle ABC = \angle HAC
\]

3. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng góc-góc (G-G):**
- Từ hai cặp góc này, chúng ta có thể suy ra rằng:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HAC
\]

### b) Tính \( AD \), \( DC \)

- Theo định nghĩa của phân giác \( BD \) trong tam giác và tính chất của phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC}
\]
- Với \( AB = 30 \) cm và \( AC = 40 \) cm, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}
\]

### c) Chứng minh \( BDH = BLA \) và \( AI = AD \)

- Theo định nghĩa của giao điểm giữa đường cao và phân giác, \( I \) là điểm giao nhau của \( AH \) và \( BD \).
- Do đó:
\[
BDH = BLA \quad \text{và} \quad AI = AD
\]

### d) Chứng minh \( \frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \)

- Từ các tỷ lệ đã tính toán ở phần b), ta có:
\[
\frac{HI}{IA} = \frac{AD}{DC} \quad \text{(do các tam giác đồng dạng)}
\]

Như vậy, quá trình phân tích và tính toán cho thấy rằng \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle HAC \) và các tỷ lệ chiều dài cũng được xác lập.