Để tính \( \cos 15^\circ \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ \), chúng ta có thể sử dụng một số công thức lượng giác.

Trước tiên, ta biết rằng:

- \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ \)

Từ công thức lượng giác, ta cũng có thể biểu diễn \( \cos 15^\circ \) và \( \sin 15^\circ \). Một cách thuận tiện để tính \( \sin 15^\circ \) là sử dụng công thức hạ bậc:

\[
\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ
\]

Thay các giá trị vào:

\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]

Vậy

\[
\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Như vậy,

\[
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Giờ ta có thể tính:

\[
\cos 15^\circ \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \cos 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Dùng công thức:

\[
\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

Vậy:

\[
\cos 15^\circ \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Tính từng bước:

1. Tính \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{12} + 2}{8} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{8} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \)

2. Tính:

\[
\frac{\sqrt{3} + 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}
\]

Ta nhân:

\[
= \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} = \frac{3\sqrt{2}}{16}
\]

Cuối cùng:

\[
\cos 15^\circ \cdot \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{3\sqrt{2}}{64}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\cos15^\circ \cdot \cos45^\circ \cdot \cos75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{16}
\]