Để chứng minh hai bất đẳng thức dưới đây với \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\):

### a) Chứng minh rằng \(2 \cot^2 \alpha \geq 1 + \cos 2\alpha\)

Đầu tiên, sử dụng định nghĩa của cotang:

\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \Rightarrow \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Thay vào bất đẳng thức:

\[
2 \cot^2 \alpha = 2 \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \geq 1 + \cos 2\alpha
\]

Biết rằng \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \), ta có:

\[
1 + \cos 2\alpha = 1 + (2\cos^2 \alpha - 1) = 2\cos^2 \alpha
\]

Vì vậy, bất đẳng thức trở thành:

\[
2 \cot^2 \alpha \geq 2 \cos^2 \alpha
\]

Chia cả hai vế cho 2 (không thay đổi dấu bất đẳng thức vì 2 > 0):

\[
\cot^2 \alpha \geq \cos^2 \alpha
\]

Mà thêm điều kiện \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), suy ra \( \cot^2 \alpha \geq 1\), chứng minh bất đẳng thức.

### b) Chứng minh rằng \(\cot \alpha \geq 1 + \cot 2\alpha\)

Biết rằng:

\[
\cot 2\alpha = \frac{\cot^2 \alpha - 1}{2 \cot \alpha}
\]

Thay vào bất đẳng thức:

\[
\cot \alpha \geq 1 + \frac{\cot^2 \alpha - 1}{2 \cot \alpha}
\]

Nhân cả hai vế với \(2 \cot \alpha\) (với \( \cot \alpha > 0\)):

\[
2 \cot^2 \alpha \geq 2 \cot \alpha + \cot^2 \alpha - 1
\]

Sắp xếp lại ta được:

\[
2 \cot^2 \alpha - \cot^2 \alpha - 2 \cot \alpha + 1 \geq 0 \Rightarrow \cot^2 \alpha - 2 \cot \alpha + 1 \geq 0
\]

Điều này tương đương với:

\[
(\cot \alpha - 1)^2 \geq 0
\]

Bất đẳng thức này luôn đúng vì bình phương một số luôn không âm.

### Kết luận

Cả hai bất đẳng thức đã được chứng minh rằng đúng với \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\).