Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \( A = 2 - 2\sin x - \cos(2x) \), trước tiên ta có thể thay thế \(\cos(2x)\) bằng \(1 - 2\sin^2 x\) theo công thức lượng giác.

Biểu thức sẽ trở thành:

\[
A = 2 - 2\sin x - (1 - 2\sin^2 x)
\]
\[
A = 2 - 2\sin x - 1 + 2\sin^2 x
\]
\[
A = 1 - 2\sin x + 2\sin^2 x
\]
\[
A = 2\sin^2 x - 2\sin x + 1
\]

Đặt \(y = \sin x\) (với \(y \in [-1, 1]\)), ta có:

\[
A = 2y^2 - 2y + 1
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(A\), ta có thể tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:

\[
\frac{dA}{dy} = 4y - 2
\]

Giải \(4y - 2 = 0\):

\[
y = \frac{1}{2}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \(A\) tại các điểm cần xem xét là \(y = -1\), \(y = \frac{1}{2}\), và \(y = 1\):

1. Tại \(y = -1\):

\[
A = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5
\]

2. Tại \(y = \frac{1}{2}\):

\[
A = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{2}
\]

3. Tại \(y = 1\):

\[
A = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 2 + 1 = 1
\]

Tóm lại, ta có các giá trị:

- \(A(-1) = 5\)
- \(A\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\)
- \(A(1) = 1\)

Vậy:

- Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\)
- Giá trị lớn nhất của \(A\) là \(5\)