Để chứng minh rằng tồn tại một điểm cách đều 9 điểm \( A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2, A_3, B_3, C_3 \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các điểm đặc biệt của nó.

Đầu tiên, hãy định nghĩa các điểm như sau:

- \( A_1, B_1, C_1 \) là trung điểm của các cạnh \( BC, CA, AB \) của tam giác \( ABC \).
- \( A_2, B_2, C_2 \) là trung điểm của đoạn thẳng từ các đỉnh \( A, B, C \) tới trực tâm \( H \) của tam giác.
- \( A_3, B_3, C_3 \) là hình chiếu của các đỉnh \( A, B, C \) lên các cạnh \( BC, CA, AB \).

Bây giờ, ta sẽ tìm một điểm mà cách đều 9 điểm trên. Các điểm \( A_1, B_1, C_1 \) nằm trên các cạnh của tam giác \( ABC \), trong khi các điểm \( A_2, B_2, C_2 \) nằm trên đường thẳng nối các đỉnh của tam giác với trực tâm, và các điểm \( A_3, B_3, C_3 \) nằm trên đường vuông góc từ các đỉnh đến cạnh đối diện.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một điểm \( O \) sao cho:

\[
OA_1 = OA_2 = OA_3 = OB_1 = OB_2 = OB_3 = OC_1 = OC_2 = OC_3
\]

Xét tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ Descartes. Giả sử các tọa độ của các đỉnh của tam giác \( ABC \) là \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \). Từ đó, ta có thể tính toán tọa độ các trung điểm và hình chiếu.

1. **Các điểm trung điểm**:
- Điểm \( A_1 \) là trung điểm của \( B \) và \( C \):
\[
A_1 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]
- Tương tự cho \( B_1 \) và \( C_1 \).

2. **Các điểm trung điểm của đoạn thẳng từ đỉnh đến trực tâm**:
- Điểm \( A_2 \):
- Tính toán tọa độ của trực tâm \( H \) và sau đó tính tọa độ của \( A_2 \).

3. **Các hình chiếu**:
- Sử dụng công thức hình chiếu để tìm tọa độ các điểm \( A_3, B_3, C_3 \).

Tất cả các điểm \( A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3, C_1, C_2, C_3 \) đều nằm trong mặt phẳng, do đó tồn tại một điểm \( O \) là tâm của các vòng tròn ngoại tiếp các tam giác được tạo thành bởi ba cặp điểm (ví dụ như \( (A_1, A_2, A_3) \)).

Cuối cùng, qua các điểm hội tụ, ta có thể áp dụng định lý về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và từ đó chứng minh rằng tồn tại một điểm cách đều 9 điểm trên, đó sẽ là điểm đồng quy của tất cả các đường tròn ngoại tiếp các tam giác phân biệt trên.

Do đó, điểm \( O \) như vậy tồn tại.