Để tính giá trị biểu thức \( S = \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6} + \ldots + \frac{1}{20.21} \), chúng ta cần xác định các mẫu số trong biểu thức.

Tổng quát, mẫu số ở vị trí n thứ \( n \) của biểu thức là \( (n+2)(n+3) \) với \( n \) bắt đầu từ 1 đến 18.

Do đó, các mẫu số lần lượt sẽ là:

- Khi \( n=1 \): \( 3.4 \)
- Khi \( n=2 \): \( 4.5 \)
- Khi \( n=3 \): \( 5.6 \)
- ...
- Khi \( n=18 \): \( 20.21 \)

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

\[
S = \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\]

Áp dụng phân tích thành phần:

\[
\frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}
\]

Do đó, chúng ta có thể viết lại tổng \( S \):

\[
S = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{21} \right)
\]

Hầu hết các hạng tử trong tổng sẽ triệt tiêu nhau, và ta chỉ còn lại:

\[
S = \frac{1}{3} - \frac{1}{21}
\]

Tính giá trị cuối cùng:

\[
S = \frac{7}{21} - \frac{1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( S \) là:

\[
\boxed{\frac{2}{7}}
\]