Để chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 10^{2023} \), ta xem xét các điều kiện cần có cho phép chia của \( 2024^n - 1 \) cho từng thừa số của \( 10^{2023} \).

### Phân tích \( 10^{2023} \)
Ta có:
\[
10^{2023} = 2^{2023} \times 5^{2023}
\]

#### 1. Chứng minh \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 2^{2023} \)

Số \( 2024 \) có thể viết là:
\[
2024 = 2^2 \times 506
\]

Rõ ràng:
\[
2024 \equiv 0 \pmod{2}
\]
và do đó \( 2024^n \equiv 0 \pmod{2} \) cho mọi \( n \geq 1 \). Để chứng minh \( 2024^n \equiv 1 \pmod{2^{2023}} \), ta cần dùng định lý số dư nhỏ (Lifting The Exponent Lemma).

Theo Lifting The Exponent Lemma:
\[
v_2(2024^n - 1) = v_2(2024 - 1) + v_2(n) = v_2(2023) + v_2(n)
\]

Ta có \( v_2(2023) = 0 \) (2023 là số lẻ). Do đó,
\[
v_2(2024^n - 1) = v_2(n)
\]

Để \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 2^{2023} \), cần có \( v_2(n) \geq 2023 \). Điều này có thể đạt được bằng cách chọn \( n = 2^{2023} \), dễ dàng suy ra.

#### 2. Chứng minh \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 5^{2023} \)

Xét \( 2024 \) modulo \( 5 \):
\[
2024 \equiv 4 \pmod{5}
\]
Và do \( 4 \equiv -1 \pmod{5} \), nên:
\[
2024^n \equiv (-1)^n \pmod{5}
\]
Từ đó suy ra:
- Khi \( n \) lẻ: \( 2024^n \equiv -1 \pmod{5} \Rightarrow 2024^n - 1 \equiv -2 \pmod{5} \) (không chia hết)
- Khi \( n \) chẵn: \( 2024^n \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 2024^n - 1 \equiv 0 \pmod{5} \)

Bây giờ, xét \( n \) chẵn. Áp dụng định lý số dư nhỏ cho \( 5^{2023} \):
\[
v_5(2024 - 1) = v_5(2023) = 0
\]
Khi đó:
\[
v_5(2024^n - 1) = v_5(n)
\]

Để \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 5^{2023} \), cần \( v_5(n) \geq 2023 \). Ta có thể chọn \( n = 5^{2023} \).

### Kết luận
Chọn \( n = 10^{2023} \) (chẵn và có đủ các yếu tố chia hết) thì \( v_2(n) \geq 2023 \) và \( v_5(n) \geq 2023 \).

Do đó, tồn tại số tự nhiên \( n \) sao cho \( 2024^n - 1 \) chia hết cho \( 10^{2023} \).