Chứng minh bất đẳng thức sau

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{3}{2(a + b + c)}
\]

giả sử \( a, b, c > 0 \). Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \) và \( 1, 1, 1 \):

\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) (1 + 1 + 1) \geq (1 + 1 + 1)^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}
\]

Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức đã cho, nên ta cần tìm mối liên hệ giữa \(\frac{9}{a + b + c}\) và \(\frac{3}{2(a + b + c)}\).

Ta có:

\[
\frac{9}{a + b + c} \geq \frac{3}{2(a + b + c)} \Longleftrightarrow 9 \geq \frac{3}{2} \Longleftrightarrow 18 \geq 3
\]

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Vậy từ Cauchy-Schwarz, ta đã chứng minh được:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{3}{a + b + c}
\]

Cuối cùng, từ đây ta có thể đi đến kết luận rằng:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{3}{2(a + b + c)}
\]

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.