Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### Bài 20:

**a)** Chứng minh 4 điểm \( A, D, H, E \) cùng thuộc một đường tròn:

- Ta có \( AD \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), và \( CE \) là đường cao từ \( C \) đến \( AB \).
- Điểm \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( BD \) và \( CE \).
- Bằng tính chất của các đường cao trong tam giác đều, ta chứng minh rằng góc \( AHE \) và góc \( ADH \) có tổng bằng \( 90^\circ \).
- Do đó, điểm \( H \) nằm trên đường tròn đường kính \( AE \).
- Suy ra, bốn điểm \( A, D, H, E \) cùng thuộc một đường tròn.

**b)** Chứng minh \( MD \) là tiếp tuyến của đường tròn đi qua bốn điểm \( A, D, H, E \):

- Theo định nghĩa, để chứng minh \( MD \) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng góc \( MHD = 90^\circ \).
- Bằng tính chất đường cao trong tam giác đều, ta đã biết rằng \( H \) là giao điểm của hai đường cao, từ đó suy ra:
\[
\angle MHD + \angle ADH = 90^\circ
\]
- Suy ra \( MD \) là tiếp tuyến.

### Bài 21:

**a)** Chứng minh \( ABOH \) vuông và \( OB^2 = OH \cdot OA \):

- Ta có tam giác vuông tại \( H \).
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \( ABOH \):
\[
AB^2 = AO^2 + OH^2
\]

**b)** Chứng minh \( AC \) là tiếp tuyến của \( (O, R) \):

- Theo định nghĩa tiếp tuyến, chúng ta cần chứng minh rằng \( AC \perp OC \).
- Bằng cách sử dụng tính chất của các đường cao trong tam giác đều, ta có thể hạ chiều cao từ \( O \) đến \( AC \).

**c)** \( CD \) là đường kính của \( (O, R) \):

- Để chứng minh điều này, cần kiểm tra rằng \( C \) và \( D \) nằm trên đường tròn với tâm là \( O \) và bán kính \( R \).
- Sử dụng định lý về cạnh đối diện trong tam giác vuông để kết luận.

**d)** Chứng minh \( ODF = 90^\circ \):

- Bằng cách sử dụng các góc tại \( O \) với \( D \) và \( F \), kiểm tra tính chất vuông góc của chúng trong tam giác đó.

Đây là hướng giải bài toán. Bạn có thể đi vào chi tiết hơn cho từng chứng minh, tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán.