Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập hệ phương trình từ các thông tin đã cho.

Gọi:
- \( x \) là số ngày công huy động của thôn Đoài trong đợt thứ nhất.
- \( y \) là số ngày công huy động của thôn Đông trong đợt thứ nhất.

Theo đề bài, ta có hai phương trình:

1. Tổng số ngày công huy động trong đợt thứ nhất của hai thôn:
\[
x + y = 90
\]

2. Số ngày công huy động trong đợt thứ hai. Trong đợt này, thôn Đoài huy động vượt 20% so với đợt thứ nhất, tức là:
\[
x + 0.2x = 1.2x
\]
Thôn Đông huy động vượt 12% so với đợt thứ nhất, tức là:
\[
y + 0.12y = 1.12y
\]

Vậy tổng số ngày công huy động trong đợt thứ hai là:
\[
1.2x + 1.12y = 104
\]

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
x + y = 90 \\
1.2x + 1.12y = 104
\end{cases}
\]

Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình này:

**Từ phương trình thứ nhất**, ta có:
\[
y = 90 - x
\]

**Thay vào phương trình thứ hai**:
\[
1.2x + 1.12(90 - x) = 104
\]
\[
1.2x + 100.8 - 1.12x = 104
\]
\[
(1.2 - 1.12)x + 100.8 = 104
\]
\[
0.08x + 100.8 = 104
\]
\[
0.08x = 104 - 100.8
\]
\[
0.08x = 3.2
\]
\[
x = \frac{3.2}{0.08}
\]
\[
x = 40
\]

**Tìm giá trị của y**:
\[
y = 90 - x = 90 - 40 = 50
\]

Vậy số ngày công mà mỗi thôn huy động được trong đợt thứ nhất là:
- Thôn Đoài: 40 ngày công
- Thôn Đông: 50 ngày công

**Kết luận**:
- Số ngày công của thôn Đoài trong đợt thứ nhất: 40 ngày công.
- Số ngày công của thôn Đông trong đợt thứ nhất: 50 ngày công.