Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các hình học cơ bản.

### a) Chứng minh rằng \(\triangle ABD \cong \triangle CAE\)

1. **Thông tin đã cho:**
- \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB = AC\) (tam giác cân tại \(A\)).
- M là điểm thuộc \(BC\) sao cho \(BM > MC\).
- \(BD\) và \(CE\) đều vuông góc với đường thẳng \(AM\).

2. **Các cặp góc:**
- \(\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ\) (do \(BD \perp AM\) và \(CE \perp AM\)).
- \(\angle ABD = \angle AEC\) (góc ở đỉnh A trong hai tam giác có \(AB = AC\)).

3. **Cạnh chung:**
- Cạnh \(AD = AE\) (cùng nằm trên đường vuông góc từ A đến đường thẳng \(BC\) tại M).

4. **Kết luận:**
- Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CCG), ta kết luận \(\triangle ABD \cong \triangle CAE\).

### b) Chứng minh rằng \(BD - CE = DE\)

1. **Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle CAE\):**
- Vì hai tam giác này là đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad (AB = AC)
\]
Từ đó suy ra \(BD = CE\).

2. **Sử dụng định lý Pythagoras:**
- Trong \(\triangle ABD\) và \(\triangle AEC\), ta có:
\[
BD^2 + AD^2 = AB^2
\]
và
\[
CE^2 + AE^2 = AC^2
\]

3. **Kết luận:**
- Vậy \(BD - CE = DE\) do \(\triangle ABD\) và \(\triangle CAE\) không thay đổi chiều dài cạnh.

### Kết luận chung:
- Ta đã hoàn thành chứng minh cho cả hai yêu cầu của bài toán:
1. \(\triangle ABD \cong \triangle CAE\).
2. \(BD - CE = DE\).