Để chứng minh \( OA = OC \) trong tứ giác \( ABCD \) với các góc đã cho, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Đặt điểm \( D \) tại gốc \( D(0, 0) \).
- Gọi \( A(0, a) \), \( B(b, 0) \), và \( C(b, c) \) với \( a, b, c \) là các độ dài dương.

2. **Tính tọa độ của điểm O:**
- Điểm O là trung điểm của \( BD \), do đó tọa độ của O là:
\[
O\left( \frac{b+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

3. **Tính độ dài OA:**
- Độ dài \( OA \) được tính bằng công thức khoảng cách:
\[
OA = \sqrt{\left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2 + \left( 0 - a \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + a^2}
\]

4. **Tính độ dài OC:**
- Độ dài \( OC \) cũng được tính tương tự:
\[
OC = \sqrt{\left( \frac{b}{2} - b \right)^2 + \left( 0 - c \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{-b}{2} \right)^2 + c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + c^2}
\]

5. **So sánh OA và OC:**
- Cần chứng minh \( OA = OC \) hay:
\[
\sqrt{\frac{b^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + c^2}
\]
- Từ đây, ta có điều kiện:
\[
a^2 = c^2
\]
- Điều này xảy ra khi \( A \) và \( C \) nằm trên đường thẳng đi qua \( B \) và \( D \).

6. **Kết luận:**
- Do đó, từ \( A \) và \( C \) có cùng chiều cao so với đường thẳng \( BD \), ta suy ra \( A, B, C, D \) cùng nằm trên một đường thẳng. Điều này dẫn đến \( OA = OC \).

Như vậy, ta đã chứng minh được \( OA = OC \) đúng như yêu cầu.