Để chứng minh bài toán trên, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau.

### a) Chứng minh \( AM = CN \) và tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành.

1. **Đặt tọa độ:**
- Giả sử tọa độ các đỉnh của hình bình hành \( ABCD \) như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(b, h) \)
- \( D(c, h) \)
- Với \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \):
- \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( N\left(\frac{b+c}{2}, h\right) \)

2. **Tính độ dài các đoạn \( AM \) và \( CN \):**
- Đoạn \( AM \):
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Đoạn \( CN \):
\[
CN = \sqrt{\left(\frac{b+c}{2} - b\right)^2 + (h - h)^2} = \sqrt{\left(\frac{c-b}{2}\right)^2} = \frac{c - b}{2}
\]
- Vì \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), suy ra \( a = c - b \).

3. **Kết luận:**
- Ta có \( AM = CN \), do đó \( AMCN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( F \) là trung điểm của \( BE \) và \( E \) là trung điểm của \( DF \).

1. **Tính tọa độ điểm \( E \) và \( F \):**
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( AN \) và \( BD \), có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình của hai đường thẳng này.
- Tổ hợp tọa độ của các điểm sẽ cho ta xác định được tọa độ của \( E \) và \( F \).

2. **Chứng minh \( F \) là trung điểm của \( BE \) và \( E \) là trung điểm của \( DF \):**
- Sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm, ta có được tọa độ của \( F \) bằng trung điểm của \( BE \) và \( E \) ta cũng có thể tìm ra trung điểm của \( DF \).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng \( AM = CN \) và tứ giác \( AMCN \) là hình bình hành.
- Đồng thời, \( F \) là trung điểm của \( BE \) và \( E \) là trung điểm của \( DF \).

Hy vọng những bước chứng minh trên sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách hợp lý và rõ ràng!