Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC, trên tia BN lấy điểm sao cho N là trung điểm của BP, trên tia CM lấy điểm Q sao cho M là trung điểm của CQ

Để chứng minh các kết quả đã cho trong bài toán đó, chúng ta sẽ tiếp cận từng phần một cách có hệ thống.

### a) Chứng minh rằng các tứ giác APCB, AQBC là các hình bình hành

**Đối với tứ giác APCB**:

- M và N là trung điểm của AB và AC.
- Khi đó, ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), nghĩa là \( AM = MB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \), nghĩa là \( AN = NC \).

- Vì \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \) nên \( AM = AN \).

- Ký hiệu \( D \) là điểm trên đường thẳng \( PC \) sao cho \( AD \) song song và bằng \( MB \). Vậy \( APCB \) là hình bình hành, vì:
- \( AP \parallel BC \)
- \( PC \parallel AB \)

**Đối với tứ giác AQBC**:

- Tương tự, với việc \( N \) là trung điểm của \( BP \):
- Có \( BN = NP \).

- Ta sẽ chứng minh:
- \( AQ \parallel BC \)
- \( AN = NC \)

- Kí hiệu \( E \) là điểm trên đường thẳng \( QB \) sao cho \( AE \) song song với \( NC \) và \( CE \parallel AQ \).

- Từ đó, ta có:
- \( AQ = BC \)
- Do đó, tứ giác \( AQBC \) cũng là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng các tam giác ABQ và ACP bằng nhau

Để chứng minh rằng tam giác \( ABQ \) và \( ACP \) là bằng nhau, ta có thể sử dụng định nghĩa và tính chất của các phần tử hình học.

- Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \), ta có:
- \( AM = MB \) và \( AN = NC \).

- Bên cạnh đó, chiều dài của đoạn thẳng \( AQ \) cũng bằng với đoạn thẳng \( AC \), vì cả hai đều đối diện với cạnh \( AB \).

- Cuối cùng, do tam giác \( ABC \) và các vị trí của \( M, N, Q \) và các mối quan hệ kéo theo, ta có thể kết luận rằng:
- \( \triangle ABQ \cong \triangle ACP \) (có cạnh và góc bằng).

### c) Chứng minh rằng ba điểm P, A, Q thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm \( P, A, Q \) thẳng hàng, chúng ta sẽ xem xét các mối quan hệ vị trí của các điểm đã được xác định.

- Dựa vào các tứ giác APCB và AQBC đều là hình bình hành, ta có:
- \( P \) nằm trên đường thẳng nối \( A \) và tiếp giáp với đường thẳng \( BQ \).

- Khi đó:
- Ba điểm \( P, A, Q \) cùng nằm trên một dòng thẳng vì trong tứ giác \( AQBC \) và \( APCB \) có tính chất song song và bằng nhau của các cạnh.

- Do đó, ta xác định được ba điểm \( P, A, Q \) là thẳng hàng qua tính chất của các tứ giác.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.