Để chứng minh rằng điểm C là trọng tâm của tam giác AEM, ta có thể tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định các đoạn thẳng**: Trong tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC, tức là \( BD = DC \). Theo giả thiết, \( AD = DE \) và \( BC = CM \).

2. **Chứng minh các đoạn thẳng**: Do D là trung điểm của BC, ta có:
- \( BD = DC \)

Từ giả thiết, ta có:
- \( AD = DE \) nghĩa là DE = AD, còn \( CM = BC \).

3. **Tính toán trung điểm**: Gọi G là trung điểm của đoạn AE. Do đoạn AE bằng với đoạn AD, ta có:
- \( AG = GE \)

4. **Sử dụng định nghĩa trọng tâm**: Trọng tâm của tam giác là điểm cắt nhau của ba đường trung tuyến. Trong trường hợp này, ba đường trung tuyến là:
- AM, BE, và CG.

5. **Chứng minh tỉ lệ**: Ta có phân tích:
- \( \frac{AG}{GE} = \frac{1}{1} \) (G là trung điểm của AE).
- \( \frac{CM}{MB} = \frac{1}{1} \) (M là trung điểm của BC).

6. **Kết luận**: Vậy tỉ lệ giữa các đoạn thẳng của tam giác AEM cho thấy C là trọng tâm. Vì theo định nghĩa, G là trọng tâm của AE, và C là điểm cắt của các đường trung tuyến, nên C chính là trọng tâm của tam giác AEM.

Tóm lại, với những lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng C là trọng tâm của tam giác AEM.