Để chứng minh đẳng thức

\[
\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{n^2} = (n+1)^2 - n^2
\]

chúng ta có thể thực hiện từng bước như sau:

1. **Giản lược biểu thức bên trái**:
- \(\sqrt{(n+1)^2} = n + 1\) (vì \(n\) là số tự nhiên).
- \(\sqrt{n^2} = n\).

Do đó, biểu thức bên trái là:
\[
n + 1 + n = 2n + 1.
\]

2. **Giản lược biểu thức bên phải**:
- Tính \((n+1)^2 - n^2\):
\[
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1.
\]
Vậy,
\[
(n + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1.
\]

3. **So sánh hai biểu thức**:
- Biểu thức bên trái: \(2n + 1\).
- Biểu thức bên phải: \(2n + 1\).

Hai bên trái và phải bằng nhau, nên đẳng thức đã được chứng minh.

### Kết quả với các giá trị cụ thể của \(n\):

- Với \(n = 1\):
\[
\sqrt{(1+1)^2} + \sqrt{1^2} = \sqrt{2^2} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3.
\]
\((1+1)^2 - 1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\).

- Với \(n = 2\):
\[
\sqrt{(2+1)^2} + \sqrt{2^2} = \sqrt{3^2} + \sqrt{2^2} = 3 + 2 = 5.
\]
\((2+1)^2 - 2^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\).

- Với \(n = 3\):
\[
\sqrt{(3+1)^2} + \sqrt{3^2} = \sqrt{4^2} + \sqrt{3^2} = 4 + 3 = 7.
\]
\((3+1)^2 - 3^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7\).

- Với \(n = 4\):
\[
\sqrt{(4+1)^2} + \sqrt{4^2} = \sqrt{5^2} + \sqrt{4^2} = 5 + 4 = 9.
\]
\((4+1)^2 - 4^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\).

- Với \(n = 5\):
\[
\sqrt{(5+1)^2} + \sqrt{5^2} = \sqrt{6^2} + \sqrt{5^2} = 6 + 5 = 11.
\]
\((5+1)^2 - 5^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11\).

- Với \(n = 6\):
\[
\sqrt{(6+1)^2} + \sqrt{6^2} = \sqrt{7^2} + \sqrt{6^2} = 7 + 6 = 13.
\]
\((6+1)^2 - 6^2 = 7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13\).

- Với \(n = 7\):
\[
\sqrt{(7+1)^2} + \sqrt{7^2} = \sqrt{8^2} + \sqrt{7^2} = 8 + 7 = 15.
\]
\((7+1)^2 - 7^2 = 8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15\).

Như vậy, đẳng thức được chứng minh là đúng với các giá trị \(n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).