Để tính biểu thức

\[
\sqrt{2} \cdot \sqrt{(4 + \sqrt{15})} - \sqrt{(9 - 4\sqrt{5})}
\]

ta thực hiện từng phần như sau:

**Bước 1:** Tính \(\sqrt{(4 + \sqrt{15})}\)

Chúng ta không có số liệu thô hoàn chỉnh để tính, nên chỉ biết là:
\[
\sqrt{(4 + \sqrt{15})}
\]

**Bước 2:** Tính \(\sqrt{(9 - 4\sqrt{5})}\)

\[
9 - 4\sqrt{5} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \Rightarrow a + b = 9, \quad 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 4\sqrt{5}
\]

Giải ra:
- Từ \(2\sqrt{a}\sqrt{b} = 4\sqrt{5}\) ta có \(\sqrt{a}\sqrt{b} = 2\sqrt{5}\), tức là \(ab = 20\).

Giải hệ phương trình:
- \(a + b = 9\)
- \(ab = 20\)

Với \(b = 9 - a\), ta có:
\[
a(9 - a) = 20 \Rightarrow 9a - a^2 = 20 \Rightarrow a^2 - 9a + 20 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này:
\[
a = \frac{9 \pm \sqrt{(9^2 - 4 \cdot 20)}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}
\]
Ta có \(a = 5\) và \(b = 4\).

Vậy:
\[
\sqrt{(9-4\sqrt{5})} = \sqrt{(5 - 4)} = \sqrt{(2 - 2\sqrt{5})} = \sqrt{(2 - 2\sqrt{5})} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = 3 - \sqrt{5}
\]

**Bước 3:** Kết hợp lại thành biểu thức ban đầu:

Giờ ta có:
\[
\sqrt{2} \cdot \sqrt{(4 + \sqrt{15})} - (3 - \sqrt{5})
\]

Lưu ý rằng \(\sqrt{(4+\sqrt{15})}\) khó tính mà không có số liệu cụ thể, nên bạn có thể để lại dưới dạng này hoặc nếu có giá trị cụ thể, hãy thay vào.

**Kết quả chứa số vô tỉ**, ta cần nhận diện được sự khó khăn trong tính. Hãy xác định các số trên rõ ràng hơn hoặc muốn chính xác hơn, bạn hãy tìm giá trị cụ thể cho mọi biểu thức trên.