Để chứng minh rằng \( AB \parallel CD \) trong hình vẽ, ta sẽ sử dụng các tính chất của góc.

1. **Cho các góc đã biết**:
- \( \angle AMN = 2 \cdot \angle BMN \)
- \( \angle MND - \angle MNC = 60^\circ \)

2. **Gọi các góc**:
- Đặt \( \angle BMN = x \).
- Vậy, \( \angle AMN = 2x \).
- Từ đó, \( \angle MND = \angle MNC + 60^\circ \).

3. **Áp dụng định lý về góc đồng vị**:
- Do \( AB \parallel CD \), nên \( \angle AMN \) và \( \angle MNC \) là các góc đồng vị.
- Vậy, có \( \angle AMN + \angle MNC = 180^\circ \) (tổng các góc trên một đường thẳng).

4. **Thiết lập phương trình**:
- Thay các giá trị vào: \( 2x + \angle MNC = 180^\circ \)
- Từ đó, suy ra \( \angle MNC = 180^\circ - 2x \).

5. **Xét góc \( \angle MND \)**:
- Theo điều kiện đã cho: \( \angle MND = \angle MNC + 60^\circ \).
- Thay \( \angle MNC \) vào, ta có: \( \angle MND = (180^\circ - 2x) + 60^\circ = 240^\circ - 2x \).

6. **Tính toán góc \( BMN \)**:
- Từ \( \angle MND \) và \( \angle BMN \), có các mối liên hệ qua \( 180^\circ \) do các góc bổ sung:
- Vậy, \( \angle MND + \angle BMN = 180^\circ \),
- Thay vào phương trình: \( (240^\circ - 2x) + x = 180^\circ \),
- Giải phương trình, ta tìm được \( x \).

7. **Đi tới kết luận**:
- Sau khi tính toán các góc, nếu mọi điều kiện thoả mãn, ta khẳng định được \( AB \parallel CD \).

Như vậy, từ các mối liên hệ giữa các góc, ta đã chứng minh được rằng đoạn thẳng AB song song với đoạn thẳng CD.