Để tìm số tự nhiên bé nhất mà thỏa mãn các điều kiện đã cho:

1. \( x \equiv 2 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 3 \mod 4 \)
3. \( x \equiv 4 \mod 5 \)
4. \( x \equiv 6 \mod 7 \)

Ta có thể viết lại các điều kiện này dưới dạng:

1. \( x = 3k + 2 \) (với \( k \) là số nguyên)
2. \( x = 4m + 3 \) (với \( m \) là số nguyên)
3. \( x = 5n + 4 \) (với \( n \) là số nguyên)
4. \( x = 7p + 6 \) (với \( p \) là số nguyên)

### Bước 1: Giải đồng thời các phương trình

Ta sẽ bắt đầu từ phương trình cuối cùng \( x = 7p + 6 \).

Thay \( x \) vào phương trình đầu tiên:

\[ 7p + 6 \equiv 2 \mod 3 \]

Khi đó:

\[ 7p \equiv 2 - 6 \mod 3 \]
\[ 7p \equiv 2 \mod 3 \]
Do \( 7 \equiv 1 \mod 3 \), ta có:

\[ p \equiv 2 \mod 3 \]

Vậy \( p = 3q + 2 \) (với \( q \) là số nguyên). Thay vào \( x \):

\[ x = 7(3q + 2) + 6 = 21q + 14 + 6 = 21q + 20 \]

### Bước 2: Thay vào các phương trình còn lại

Bây giờ ta đã có biểu thức \( x = 21q + 20 \). Tiếp tục thay vào phương trình thứ hai:

\[ 21q + 20 \equiv 3 \mod 4 \]

Tính \( 21 \mod 4 \):

\[ 21 \equiv 1 \mod 4 \]
Vậy:

\[ q + 20 \equiv 3 \mod 4 \]
\[ q \equiv 3 - 20 \mod 4 \]
\[ q \equiv 3 \mod 4 \]

Vậy \( q = 4r + 3 \) (với \( r \) là số nguyên). Thay vào \( x \):

\[ x = 21(4r + 3) + 20 = 84r + 63 + 20 = 84r + 83 \]

### Bước 3: Thay vào phương trình còn lại

Bây giờ thay vào phương trình thứ ba:

\[ 84r + 83 \equiv 4 \mod 5 \]

Tính \( 84 \mod 5 \):

\[ 84 \equiv 4 \mod 5 \]
Vậy:

\[ 4r + 83 \equiv 4 \mod 5 \]
\[ 4r + 3 \equiv 4 \mod 5 \]
\[ 4r \equiv 1 \mod 5 \]

Nhân 4 hai bên để giải:

\[ r \equiv 4 \mod 5 \]

Vậy \( r = 5s + 4 \) (với \( s \) là số nguyên). Thay vào \( x \):

\[ x = 84(5s + 4) + 83 = 420s + 336 + 83 = 420s + 419 \]

### Bước 4: Tìm số nhỏ nhất

Thay \( s = 0 \):

\[ x = 419 \]

### Kết luận

Số tự nhiên bé nhất thỏa mãn các điều kiện trên là \( \boxed{419} \).