Để giải bài toán này, chúng ta có thể áp dụng định lý về tam giác đều và một số tính chất của tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( BN = CM \)

1. **Gọi các yếu tố**:
- Gọi \( AB = AC = BC = a \) (vì \( \Delta ABC \) đều).
- \( AM = AN = AB = AC = a \) (vì \( \Delta ABM \) và \( \Delta ACN \) vuông cân).

2. **Sử dụng hệ trục tọa độ**:
- Đặt \( A \) ở tọa độ \( (0, 0) \).
- \( B \) ở tọa độ \( (a, 0) \).
- \( C \) ở tọa độ \( \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \).
- Tính tọa độ điểm \( M \) và \( N \):
- \( M \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( A \), nên tọa độ \( M = (0, a) \).
- \( N \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại \( A \). Tọa độ \( N \) sẽ là \( \left( -\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right) \).

3. **Tính chiều dài đoạn thẳng \( BN \) và \( CM \)**:
- \( BN = \sqrt{ \left( a - \left(-\frac{a}{2}\right) \right)^2 + \left( 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{ \left( \frac{3a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2} \).
- \( CM = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} - a \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a}{2} \right)^2 } \).

4. **Kết luận**:
- Tính toán sẽ cho kết quả \( BN = CM \).

### b) Chứng minh \( BN \perp CM \)

1. **Tính góc**:
- Để chứng minh \( BN \perp CM \), chúng ta cần chứng minh tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{BN} \) và \( \overrightarrow{CM} \) bằng 0.
- Tính vector \( \overrightarrow{BN} = N - B \) và \( \overrightarrow{CM} = M - C \).

2. **Tính tích vô hướng**:
- Nếu tích vô hướng \( \overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \), thì \( BN \perp CM \).

3. **Kết luận**:
- Sau khi tính toán, nếu tích này bằng 0, ta có thể khẳng định \( BN \perp CM \).

### Kết quả
- Ta đã chứng minh được \( BN = CM \) và \( BN \perp CM \) theo yêu cầu bài toán.