Gọi hai số chẵn là \( x \) và \( y \). Theo bài toán, ta có:

1. Trung bình cộng của hai số chẵn là 35:
\[
\frac{x + y}{2} = 35
\]
Vậy:
\[
x + y = 70
\]

2. Giữa hai số \( x \) và \( y \) có 10 số chẵn liên tiếp. Nếu \( x < y \), thì các số chẵn đó là \( x + 2, x + 4, \ldots, y - 2 \).

Số lượng số chẵn giữa \( x \) và \( y \) là:
\[
\frac{y - x}{2} - 1 = 10
\]
Giải phương trình này, ta có:
\[
y - x = 22
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:
1. \( x + y = 70 \)
2. \( y - x = 22 \)

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[
y = x + 22
\]

Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:
\[
x + (x + 22) = 70
\]
\[
2x + 22 = 70
\]
\[
2x = 48
\]
\[
x = 24
\]

Tìm \( y \):
\[
y = 70 - x = 70 - 24 = 46
\]

Vậy hai số chẵn cần tìm là \( x = 24 \) và \( y = 46 \).

**Kết luận**: Hai số chẵn là 24 và 46.