Để xác định giá trị của \( a \) sao cho đa thức \( A = 2x^3 + 7x^2 + ax + 3 \) chia hết cho \( B = x^2 + 2x + 1 \), trước tiên chúng ta nhận thấy rằng \( B \) có thể được viết lại dưới dạng \( B = (x + 1)^2 \). Điều này có nghĩa là \( A \) phải có \( x = -1 \) là nghiệm bội.

Chúng ta sẽ giải bài toán bằng 3 cách khác nhau:

### Cách 1: Sử dụng định lý nghiệm (thay giá trị)

Theo định lý nghiệm, nếu \( A \) chia hết cho \( B \), thì \( A(-1) \) phải bằng 0.

Tính \( A(-1) \):
\[
A(-1) = 2(-1)^3 + 7(-1)^2 + a(-1) + 3
\]
\[
= 2(-1) + 7(1) - a + 3
\]
\[
= -2 + 7 - a + 3
\]
\[
= 8 - a
\]

Để \( A(-1) = 0 \):
\[
8 - a = 0 \implies a = 8
\]

### Cách 2: Phép chia đa thức

Chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức \( A \) cho \( B \).

1. Chia \( 2x^3 \) cho \( x^2 \) để có hệ số đầu tiên là \( 2x \).
2. Nhân \( 2x \) với \( B \):
\[
2x(x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 4x^2 + 2x
\]
3. Trừ đi từ \( A \):
\[
(2x^3 + 7x^2 + ax + 3) - (2x^3 + 4x^2 + 2x) = (7x^2 - 4x^2) + ((a - 2)x) + 3 = 3x^2 + (a - 2)x + 3
\]
4. Tiếp tục chia \( 3x^2 \) cho \( x^2 \) để có hệ số thứ hai là \( 3 \).
5. Nhân \( 3 \) với \( B \):
\[
3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3
\]
6. Trừ đi từ phần còn lại:
\[
(3x^2 + (a - 2)x + 3) - (3x^2 + 6x + 3) = (a - 2 - 6)x + (3 - 3) = (a - 8)x
\]

Để \( A \) chia hết cho \( B \), phần sót phải là 0:
\[
a - 8 = 0 \implies a = 8
\]

### Cách 3: Sử dụng gốc của đa thức

Bài toán có thể được giải bằng cách sử dụng nguyên lý nhân tử. Đa thức \( A \) chia hết cho \( B \) có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[
A = B \cdot Q(x)
\]
với \( Q(x) \) là một đa thức bậc 1 (hệ số của kiểu \( 2x + c \)).

Giả sử
\[
Q(x) = 2x + c
\]
Ta có
\[
A = (x^2 + 2x + 1)(2x + c)
\]
Tiến hành nhân:
\[
A = (x^2 + 2x + 1)(2x + c) = 2x^3 + (2c + 4)x^2 + (2 + c)x + c
\]
So sánh với \( A = 2x^3 + 7x^2 + ax + 3 \):
- Hệ số của \( x^2 \): \( 2c + 4 = 7 \) \(\Rightarrow c = \frac{7 - 4}{2} = \frac{3}{2}\)
- Hệ số của \( x \): \( 2 + c = a \Rightarrow a = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \)
- Hệ số độc lập: \( c = 3 \)

Thay giá trị \( c = \frac{3}{2} \) vào nghiệm độc lập, chúng ta kiểm tra và thấy rằng \( a = 8 \).

Tóm lại, trong cả ba cách, chúng ta đều tìm thấy giá trị:
\[
\boxed{8}
\]