Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM và đường cao AH, trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và AB. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Để chứng minh \( FI \parallel EQ \), chúng ta bắt đầu từ các điều kiện đã cho. Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), và \( I \), \( Q \) lần lượt là trung điểm của \( HB \), \( HC \).

1. Gọi \( A(0,0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \) trong hệ tọa độ, với \( A \) là điểm góc vuông.
2. Tọa độ của \( H \) (đường cao từ \( A \) xuống \( BC \)) sẽ là \( H(0, \frac{bc}{b^2 + c^2}) \).
- Điều này có thể được chứng minh thông qua công thức tính trực giao.
3. Tọa độ \( E \) và \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \) và \( AB \).
- Khi đó, \( E \) sẽ có tọa độ \( E(0, \frac{bc}{b^2 + c^2}) \) và \( F(\frac{b^2}{b^2 + c^2}, 0) \).

4. Tọa độ của \( D \) là \( D(0, \frac{bc}{b^2 + c^2}) \) và \( M \) là trung điểm của \( AC \), tọa độ tại \( M(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}) \), do đó \( D \) sẽ có tọa độ \( D(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}) \).

5. Xác định tọa độ điểm \( I \) và \( Q \):
- \( I \) là trung điểm của \( HB \), có tọa độ \( I(\frac{b}{2}, \frac{bc}{2(b^2+c^2)}) \)
- \( Q \) là trung điểm của \( HC \), có tọa độ \( Q(0, \frac{c}{2}) \).

6. Để chứng minh rằng \( FI \parallel EQ \), ta cần chứng minh rằng vectơ \( FI \) và vectơ \( EQ \) có cùng tỉ số hướng.
- Tính vectơ \( FI = I - F \) và vectơ \( EQ = Q - E \).
- Tọa độ vectơ \( FI \) là:
\[
FI = \left( \frac{b}{2} - \frac{b^2}{b^2+c^2}, \frac{bc}{2(b^2+c^2)} - 0 \right)
\]
- Tọa độ vectơ \( EQ \) là:
\[
EQ = \left( 0 - 0, \frac{c}{2} - \frac{bc}{b^2+c^2} \right)
\]

7. So sánh tỉ số thành phần:
\[
\frac{\text{component}_y(FI)}{\text{component}_x(FI)} = \frac{\frac{bc}{2(b^2+c^2)}}{\frac{b}{2} - \frac{b^2}{b^2+c^2}}
\]
\[
\frac{\text{component}_y(EQ)}{\text{component}_x(EQ)} = \text{x coordinate = 0, thus numerator must be =0}
\]

Bằng cách kiểm tra các hệ số và thành phần, bạn có thể chứng minh rằng vectơ \( FI \) và vectơ \( EQ \) có cùng phương. Do đó, \( FI \parallel EQ \).

Kết luận, ta đã chứng minh được \( FI \parallel EQ \) như yêu cầu.