Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ các tính chất của hình thoi và sử dụng một số hình học cơ bản.

**a) Chứng minh AE = AF:**

Gọi OA và OB lần lượt là các cạnh của hình thoi ABCD, với O là giao điểm của đường chéo AC và BD. Vì hình thoi có các cạnh bằng nhau và góc B = 60 độ, nên góc A = 60 độ, góc C = 120 độ, và góc D = 120 độ.

Do AE vuông góc với BC và AF vuông góc với CD:

- AE vuông góc với BC → AE là đường cao từ A xuống BC.
- AF vuông góc với CD → AF là đường cao từ A xuống CD.

Trong tam giác OAB, góc AOB bằng 60 độ, và OA = OB (bằng một cạnh của hình thoi). Điều này cho thấy OA và OB không những bằng nhau mà còn tạo thành hai tam giác vuông tại A với cạnh kề của góc 60 độ.

Khi kẻ hai đường thẳng AE và AF:

- AE là chiều cao từ A xuống BC và AF là chiều cao từ A xuống CD.
- Bởi vì BC và CD đều là các cạnh của hình thoi (và do đó bằng nhau), AE = AF.

Do đó, **AE = AF**.

**b) Chứng minh tam giác AEF đều:**

Trong tam giác AEF, chúng ta cần xem xét các độ dài AE và AF:

- AE = AF (theo phần (a)).
- AEF có 2 cạnh AE và AF bằng nhau (AE = AF), do đó tam giác AEF có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

Góc EAF sẽ là góc tạo bởi đường thẳng AE và AF. Chúng ta cũng cần chú ý rằng góc B = 60 độ, từ đó có thể suy ra rằng góc EAF là 60 độ (do tam giác AEF nằm trong chiến lược hình thoi và góc B khẳng định sự hình thành các tam giác đều)

Từ đó, trong tam giác AEF, nếu AE = AF và góc EAF = 60 độ, thì tam giác AEF là tam giác đều.

Kết luận:
a) AE = AF
b) Tam giác AEF là tam giác đều.