Để chứng minh các kết luận a), b) và c), chúng ta sẽ sử dụng những tính chất của tam giác đều và các đường thẳng song song.

### a) Chứng minh tứ giác BFMD, CDME, AEMF là hình thang cân:

**1. Tứ giác BFMD:**

- Xét tứ giác BFMD.
- Bởi vì \( MD \parallel AC \) và \( AB \parallel FD \) (họ là các đường thẳng song song), ta có:
\[
\angle BMF = \angle MDA \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
\[
\angle BFM = \angle MBD \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
- Như vậy cả hai cặp góc này đều bằng nhau, do đó tứ giác BFMD là hình thang cân.

**2. Tứ giác CDME:**

- Tương tự, xét tứ giác CDME.
- Ta có \( ME \parallel AB \) và \( CD \parallel AC \). Áp dụng tính chất góc đồng vị:
\[
\angle CMD = \angle EMD \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
\[
\angle CME = \angle CDE \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
- Do đó, tứ giác CDME cũng là hình thang cân.

**3. Tứ giác AEMF:**

- Xét tứ giác AEMF.
- Ta có \( AE \parallel BF \) và \( AF \parallel EM \):
\[
\angle AEF = \angle BMF \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
\[
\angle AEMF = \angle FMC \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
- Do đó, tứ giác AEMF cũng là hình thang cân.

### b) Chứng minh \( DME = EMF = DMF \):

- Trong tam giác MD E, chúng ta có các đường thẳng song song tạo ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Hệ thống các đường thẳng song song làm cho các góc tại M bằng nhau.

Chúng ta có:
\[
\angle DME = \angle MEF = \angle DMF
\]

Do đó, ta kết luận rằng \( DME = EMF = DMF \).

### c) Chứng minh đoạn lớn nhất trong MA, MB, MC nhỏ hơn tổng hai đoạn kia:

Áp dụng định lý bất đẳng thức tam giác:

- Ta có ba điểm A, B, C cùng với M thuộc trong tam giác ABC đều. Theo định lý, chúng ta có:
\[
MA + MB > AB, \quad MB + MC > BC, \quad MC + MA > AC
\]

Mà A, B, C cùng là các đỉnh của một tam giác đều, do đó, ta có
\[
MA < MB + MC, \quad MB < MA + MC, \quad MC < MA + MB.
\]

Như vậy, đoạn lớn nhất sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài của hai đoạn còn lại.

Từ ba điều trên, ta đã hoàn thành chứng minh cho các yêu cầu a), b) và c).