Để chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50} = \frac{1}{26} + \frac{1}{27} + \ldots + \frac{1}{49} + \frac{1}{50}
\]

ta sẽ tính giá trị của bên trái và bên phải.

**Bên trái:**

Xét tổng:
\[
S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50}
\]

Mỗi hạng tử của tổng có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Do đó, ta có thể viết tổng \(S\) như sau:
\[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)
\]

Khi sắp lại, ta được:
\[
S = \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \ldots + \frac{1}{49} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{50} \right)
\]

**Bên phải:**

Bên phải của đẳng thức là:
\[
\frac{1}{26} + \frac{1}{27} + \ldots + \frac{1}{49} + \frac{1}{50}
\]

Ta cần phải tìm ra mối liên hệ giữa các hạng tử trong \(S\) và các hạng tử trong bên phải.

**Cách tính tổng:**

Quy đổi từng hạng tử trong tổng bên trái:
\[
S = \sum_{k=1}^{25} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)
\]

Sử dụng các hạng tử đã tìm tương ứng:
\[
\text{Hạng tử từ } \frac{1}{n \cdot (n+1)}: \frac{1}{1 \cdot 2}, \frac{1}{3 \cdot 4}, \ldots, \frac{1}{49 \cdot 50}
\]

Thực hiện tổng hàng, ta sẽ phát hiện ra rằng các hạng tử từ tổng bên trái trùng lặp với tức là tất cả các phần từ 1 đến 25 qua các phần tử từ 26 đến 50.

Cuối cùng, điều này xác nhận rằng:

\[
S = \frac{1}{26} + \ldots + \frac{1}{50}
\]

Do đó, điều đã chứng minh thành công rằng
\[
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \ldots + \frac{1}{49 \cdot 50} = \frac{1}{26} + \frac{1}{27} + \ldots + \frac{1}{49} + \frac{1}{50}
\]