Để chứng minh \( AO \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) và \( BC \), ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

### Bước 1: Thiết lập các điểm và tính chất hình học

1. Cho tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \).
2. Điểm \( D \) thuộc cạnh \( AB \).
3. Kẻ đường thẳng \( DE \) song song với \( BC \) (tức là \( DE \parallel BC \)), cắt \( AC \) tại điểm \( E \).
4. Tứ giác \( BDEC \) là hình thang cân, do đó \( BD = CE \) và \( BE = DC \).
5. Ký hiệu \( O \) là giao điểm của \( DC \) và \( BE \).

### Bước 2: Chứng minh các đoạn thẳng \( DO \) và \( OE \) bằng nhau

Do \( DE \parallel BC \), theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
\[
\angle BDE = \angle CED
\]
và
\[
\angle BED = \angle DCE
\]

Từ đây, ta có được tam giác \( BDE \) và \( CDE \) có hai góc bằng nhau:
\[
\angle BDE = \angle CED \quad \text{và} \quad \angle BED = \angle DCE
\]

Do đó, theo định lý góc đồng vị và góc so le trong hai tam giác này, ta có:
\[
\frac{BD}{CE} = \frac{BE}{DC} \quad \text{(Do tứ giác BDEC là hình thang cân)}
\]

### Bước 3: Chứng minh \( AO \) là đường trung trực của \( DE \)

Mặt khác, vì \( DE \parallel BC \) nên \( O \) là giao điểm, sẽ có:
1. \( \triangle BDE \cong \triangle CDE \) (theo tiêu chí góc-góc-cạnh)
2. Do đó:
\[
DO = OE
\]

Như vậy, \( O \) là trung điểm của đoạn \( DE \).

### Bước 4: Chứng minh \( AO \) là đường trung trực của \( BC \)

Từ tính chất của hình thang cân \( BDEC \), hình chiếu vuông góc từ \( O \) xuống \( BC \) sẽ cắt \( BC \) tại điểm chính giữa, tức là:
- Khoảng cách từ \( O \) đến \( BC \) là bằng nhau từ \( AO \).

### Kết luận
Vì \( O \) là trung điểm của \( DE \) và đường thẳng \( AO \) cắt \( DE \) tại \( O \) và cũng là đường thẳng đi qua một giao điểm của hai cạnh của hình thang cân, nên:
- \( AO \) là đường trung trực của \( DE \).
- \( AO \) cũng đồng thời là đường trung trực của \( BC \).

Chúng ta vừa hoàn tất các bước chứng minh \( AO \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) và \( BC \).