Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các phương pháp như phân tích hoặc sử dụng định lý lượng giác. Dưới đây là cách chứng minh cho từng trường hợp:

### a) Chứng minh \( x^2 + x + 1 > 0 \) với mọi \( x \):

Xét hàm số \( f(x) = x^2 + x + 1 \).

1. **Tính đạo hàm**:
\[
f'(x) = 2x + 1.
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \), ta có \( 2x + 1 = 0 \) hay \( x = -\frac{1}{2} \).

2. **Tính giá trị của hàm tại cực trị**:
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} > 0.
\]

3. **Giá trị của hàm tại vô cực**:
Khi \( x \to \infty \), \( f(x) \to \infty \); và khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to \infty \).

Vậy \( f(x) \) không có nghiệm thực nào, do đó \( x^2 + x + 1 > 0 \) với mọi \( x \).

---

### b) Chứng minh \( -4x^2 - 4x - 2 < 0 \) với mọi \( x \):

Ta có thể viết lại bất đẳng thức này thành:
\[
-4(x^2 + x + \frac{1}{2}) < 0.
\]
Giá trị trong dấu ngoặc là một biểu thức bậc 2. Ta sẽ chứng minh rằng \( x^2 + x + \frac{1}{2} > 0 \).

1. **Tính discriminant**:
\[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1 < 0.
\]
Do đó, \( x^2 + x + \frac{1}{2} \) luôn lớn hơn 0, từ đó \( -4(x^2 + x + \frac{1}{2}) < 0 \).

---

### c) Chứng minh \( x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15 > 0 \) với mọi \( x, y, z \):

Ta có:
\[
f(x, y, z) = x^2 - 2x + 4y^2 + 8y + z^2 - 6z + 15.
\]

1. **Nhóm các thành phần**:
- \( x^2 - 2x \) có thể viết thành \( (x - 1)^2 \).
- \( 4y^2 + 8y \) có thể viết thành \( 4(y^2 + 2y) = 4((y + 1)^2 - 1) = 4(y + 1)^2 - 4 \).
- \( z^2 - 6z \) có thể viết thành \( (z - 3)^2 - 9 \).

2. **Biến đổi**:
\[
f(x, y, z) = (x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 + (z - 3)^2 + 15 - 13 = (x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 + (z - 3)^2 + 2.
\]

Từ đó, ta thấy \( (x - 1)^2 \geq 0 \), \( 4(y + 1)^2 \geq 0 \), \( (z - 3)^2 \geq 0 \). Cộng lại ta được \( f(x, y, z) > 2 > 0 \).

Vậy điều kiện đúng với mọi \( x, y, z \).

### Kết luận:
1. \( x^2 + x + 1 > 0 \) với mọi \( x \).
2. \( -4x^2 - 4x - 2 < 0 \) với mọi \( x \).
3. \( x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x - 6z + 8y + 15 > 0 \) với mọi \( x, y, z \).