Để chứng minh rằng các biểu thức đã cho có giá trị âm với mọi \( x \), chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### 1. \( A = -x^2 - 6x - 11 \)

Biểu thức này là một đa thức bậc 2 với hệ số đứng trước \( x^2 \) là âm. Đạo hàm thứ nhất của biểu thức là:

\[
A' = -2x - 6
\]

Giải phương trình \( A' = 0 \):

\[
-2x - 6 = 0 \implies x = -3
\]

Chiếu \( A' \) trên thực, ta thấy \( A' < 0 \) khi \( x < -3 \) và \( A' > 0 \) khi \( x > -3 \). Do đó, đa thức này có giá trị lớn nhất tại \( x = -3 \).

Tính giá trị tại \( x = -3 \):

\[
A(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 11 = -9 + 18 - 11 = -2
\]

Vì giá trị lớn nhất của \( A \) là -2 (và nó không vượt quá 0), suy ra \( A < 0 \) với mọi \( x \).

### 2. \( B = -5x^2 + 7x - 3 \)

Biểu thức này cũng là một đa thức bậc 2 với hệ số dẫn đầu \( -5 \) (âm). Giải phương trình \( B' = 0 \):

\[
B' = -10x + 7
\]

Tìm giá trị \( x \):

\[
-10x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{10}
\]

Tính giá trị tại \( x = \frac{7}{10} \):

\[
B\left( \frac{7}{10} \right) = -5\left( \frac{7}{10} \right)^2 + 7\left( \frac{7}{10} \right) - 3
\]
\[
= -5 \times \frac{49}{100} + 49/10 - 3
= -\frac{245}{100} + \frac{490}{100} - \frac{300}{100} = -\frac{55}{100} = -0.55
\]

Giá trị tại điểm cực đại lớn nhất là âm. Do đó, \( B < 0 \) với mọi \( x \).

### 3. \( C = -\frac{1}{2}x^2 - x - 1 \)

Biểu thức này là một đa thức bậc 2. Giải phương trình \( C' = 0 \):

\[
C' = -x - 1
\]

Giải \( C' = 0 \):

\[
-x - 1 = 0 \implies x = -1
\]

Tính giá trị tại \( x = -1 \):

\[
C(-1) = -\frac{1}{2}(-1)^2 - (-1) - 1 = -\frac{1}{2} + 1 - 1 = -\frac{1}{2}
\]

Giá trị đạt cực đại là âm, nên \( C < 0 \) với mọi \( x \).

### 4. \( D = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 5 \)

Biểu thức này cũng là một đa thức bậc 2 với hệ số dẫn đầu âm.

Tính đạo hàm:

\[
D' = -\frac{2}{3}x + 2
\]

Giải \( D' = 0 \):

\[
-\frac{2}{3}x + 2 = 0 \implies x = 3
\]

Tính giá trị tại \( x = 3 \):

\[
D(3) = -\frac{1}{3}(3^2) + 2(3) - 5 = -\frac{1}{3}(9) + 6 - 5
\]
\[
= -3 + 6 - 5 = -2
\]

Giá trị đạt cực đại là âm, do đó \( D < 0 \) với mọi \( x \).

### Kết luận

Tất cả các biểu thức đã cho:
1) \( A \)
2) \( B \)
3) \( C \)
4) \( D \)

đều có giá trị âm với mọi \( x \).