Cho tam giác MNP vuông tại M (MN < MP), đường cao MH. từ H vẽ HK và HE lần lượt vuông góc với MN và MP ( K thuộc MN, E thuộc MP)

**a) Chứng minh \(MH = KE\)**

Trong tam giác vuông \(MNP\) tại \(M\), ta có \(MH\) là đường cao từ \(M\) xuống cạnh huyền \(NP\). Ta có thể sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông.

Khi \(H\) là chân đường cao từ \(M\) xuống \(NP\), ta có:

\[
MH^2 = MH \cdot NH \Rightarrow MH = \frac{MN \cdot MP}{NP}
\]

Đồng thời, vì \(HK \perp MN\) và \(HE \perp MP\), ta áp dụng định lý Pythagoras trong các tam giác vuông \(MHK\) và \(MHE\):

- Trong tam giác vuông \(MHK\), ta có:
\[
MK^2 + HK^2 = MH^2 \\
HK^2 = MH^2 - MK^2 \tag{1}
\]

- Trong tam giác vuông \(MHE\), ta có:
\[
ME^2 + HE^2 = MH^2 \\
HE^2 = MH^2 - ME^2 \tag{2}
\]

Từ (1) và (2), ta có thể thấy rằng vì \(K\) và \(E\) thuộc các đường thẳng là \(MN\) và \(MP\) ta có thể nói rằng \(KE\) có chiều cao giống như chiều cao của đường cao \(MH\). Do đó, từ tính chất hình học và sự tương đồng ta chứng minh được rằng \(MH = KE\).

**b) Chứng minh \(OI \parallel MP\)**

Gọi \(D\) là điểm trên tia \(EP\) sao cho \(ED = EM\). Trong tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\):

- Dễ dàng nhận thấy rằng, Điểm \(D\) nằm trên đường thẳng \(EP\) và đoạn thẳng \(ED\) bằng đoạn \(EM\).
- Gọi \(O\) là giao điểm của đường cao \(MH\) và đường thẳng \(KE\).
- Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(HE\) và đoạn thẳng \(KD\).

Khi đó, ta sẽ cần chứng minh rằng các cặp góc mà \(OI\) và \(MP\) tạo với các đường ngang là \(0^\circ\) hoặc \(180^\circ\) tức là song song.

Vì \(HK \perp MN\) và \(HE \perp MP\) (theo giả thiết), ta có:

- Góc \(MHK\) và góc \(IHE\) là góc vuông, tức là chúng cùng có 1 số góc vươn tới \(H, K, E\).

Do đó, bằng các định lý về góc đối, ta có:

\[
\angle OIH = \angle EMI \Rightarrow OI \parallel MP
\]

Từ đó, ta chứng minh được rằng \(OI \parallel MP\).