Để chứng minh các phần a), b), c), và d) trong bài toán, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB và AH.CB = AB.AC

**Chứng minh đồng dạng:**

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- Góc CAB = 90° (góc vuông)
- Góc AHB = góc phụ của góc CAB

Vì vậy, ta có:
- Góc AHB = 90° (góc vuông)
- Góc CAB = AHB

Do đó, tam giác AHB và tam giác CAB có:
- Góc AHB = Góc CAB (góc chung)
- Góc BAH = Góc ACB (góc tương ứng với nhau)

Vậy từ hai cặp góc tương ứng, ta có:
\[ \triangle AHB \sim \triangle CAB \]

**Chứng minh tỉ số:**

Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AH}{AB} = \frac{HB}{AC} \]
Từ đó suy ra:
\[ AH \cdot AC = AB \cdot HB \tag{1} \]

Nhưng từ tam giác CAB, ta cũng có:
\[ \frac{AH}{CA} = \frac{AB}{CB} \]
Suy ra:
\[ AH \cdot CB = AB \cdot AC \tag{2} \]

Kết hợp (1) và (2) ta có:
\[ AH \cdot CB = AB \cdot AC \]

### b) Tứ giác DHEA là hình gì? Vì sao?

Hình chiếu D, E của H lên AB và AC:
- D là hình chiếu của H lên AB.
- E là hình chiếu của H lên AC.

Tứ giác DHEA có bốn đỉnh: D, H, E, A.

**Chứng minh DHEA là tứ giác chữ nhật:**

- Góc ADH = 90° (vì D là hình chiếu trên AB).
- Góc AEH = 90° (vì E là hình chiếu trên AC).

Vì vậy, tứ giác DHEA có hai cặp góc vuông, do đó nó là một tứ giác chữ nhật.

### c) Giả sử AB = 9 cm, AC = 12 cm. Tính DE

Từ định lý Pythagore, ta có:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \]

Sử dụng tỉ số đồng dạng từ tam giác AHB và CAB:
\[ \frac{DE}{AB} = \frac{AH}{AC} \]

Từ (2) ta có:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{CB} \]
Thay giá trị vào:
\[ AH = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7.2 \text{ cm} \]
Vì DHEA chữ nhật nên:
\[ DE = AH = 7.2 \text{ cm} \]

### d) Chứng minh rằng AH² = DA.DB + EA.EC

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ADE và AHE:

- Trong tam giác ADE, ta có:
\[ AD^2 + DE^2 = AE^2 \tag{1} \]

- Trong tam giác AHE, ta có:
\[ AH^2 + HE^2 = AE^2 \tag{2} \]

Kết hợp (1) và (2):
- Từ (1), suy ra:
\[ DE^2 = AE^2 - DA^2 \]
- Từ (2), suy ra:
\[ AH^2 + HE^2 = AE^2 \]

Từ đây, ta có:
\[ AH^2 = AE^2 - HE^2 \]
Do đó, thay AE^2 từ (1) vào:
\[ AH^2 = DE^2 + DA^2 \]

Trên cơ sở đó, kết hợp với định lý Pythagore, ta có:
\[ AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \]

Vậy chứng minh hoàn tất.