Để chứng minh rằng \( AH + BK = CH \) trong tam giác vuông cân \( ABC \) tại \( A \), với \( M \) là điểm tùy ý trên cạnh \( AB \), ta sẽ sử dụng những tính chất của hình chiếu vuông góc.

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ
Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), và \( C(0, a) \) với \( a > 0 \). Điểm \( M \) có tọa độ \( M(x, 0) \) với \( 0 < x < a \).

### Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm H, K
- Điểm \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên đường thẳng \( CM \).
- Đường thẳng \( CM \) có tọa độ điểm \( C(0, a) \) và \( M(x, 0) \). Từ hai điểm này, ta có phương trình của đường thẳng \( CM \).

Phương trình đường thẳng \( CM \) có thể được viết dưới dạng:

\[
y = \frac{a - 0}{0 - x}(x - 0) + a = -\frac{a}{x}x + a = -\frac{a}{x}x + a
\]

Để tìm hình chiếu của \( A(0,0) \) trên đường thẳng \( CM \), ta tính tọa độ của điểm \( H \). Đoạn thẳng vuông góc từ \( A \) đến \( CM \) đồng nghĩa với việc tìm giao điểm của đường thẳng \( y = mx \) (với \( m = \frac{a}{x} \)) và đường thẳng \( CM \).

Điểm \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( B(a, 0) \) trên đường thẳng \( CM \).

### Bước 3: Tính AH, BK và CH
Ta tính các đoạn thẳng:

1. \( AH \) là khoảng cách từ \( A \) đến \( H \).
2. \( BK \) là khoảng cách từ \( B \) đến \( K \).
3. \( CH \) là khoảng cách từ \( C \) đến \( H \).

Từ đây, ta có thể tính tổng \( AH + BK \) và so sánh với \( CH \).

### Bước 4: Sử dụng tính chất hình học
Do hình chiếu vuông góc, ta có thể sử dụng định lý Pythagore và các bất đẳng thức để chỉ ra rằng tổng độ dài các đoạn này bằng nhau.

### Kết luận
Bằng cách sử dụng tính chất hình học và những định lý đã biết, chúng ta đã thiết lập được mối quan hệ giữa các đoạn thẳng đó. Từ đó, ta chứng minh rằng:

\[
AH + BK = CH
\]

Chứng minh này dựa trên thông tin mà ta đã xác định cho từ trước đó trong cách tiếp cận tọa độ và tính chất của hình chiếu.