Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho các biểu thức được nêu ra sau đây là số tự nhiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp:

### a) \( 6 : (n + 1) \)

Biểu thức này có nghĩa là \( 6 \) chia cho \( n + 1 \). Để \( 6 : (n + 1) \) là một số tự nhiên, \( n + 1 \) phải là một ước của \( 6 \). Các ước số của \( 6 \) là \( 1, 2, 3, 6 \).

- \( n + 1 = 1 \) ⇒ \( n = 0 \)
- \( n + 1 = 2 \) ⇒ \( n = 1 \)
- \( n + 1 = 3 \) ⇒ \( n = 2 \)
- \( n + 1 = 6 \) ⇒ \( n = 5 \)

Vậy, \( n \) có thể là \( 0, 1, 2, 5 \).

### b) \( (n + 6) : (n + 1) \)

Biểu thức này có nghĩa là \( n + 6 \) chia cho \( n + 1 \). Để \( (n + 6) : (n + 1) \) là một số tự nhiên, \( n + 1 \) phải chia hết cho \( n + 6 \).

Chúng ta viết lại thành điều kiện:

\[
\frac{n + 6}{n + 1} = 1 + \frac{5}{n + 1}
\]

Để biểu thức trên là một số tự nhiên, thì \( n + 1 \) phải chia hết cho \( 5 \). Ta có các giá trị sau:

- \( n + 1 = 5k \) với \( k \) là số tự nhiên, kế đó:
- \( k = 1 \) ⇒ \( n + 1 = 5 \) ⇒ \( n = 4 \)
- \( k = 2 \) ⇒ \( n + 1 = 10 \) ⇒ \( n = 9 \)
- và tiếp tục cho các bội số của \( 5 \).

Vậy \( n \) là \( 4, 9, 14, 19, ... \) (tức là dạng \( n = 5k - 1 \) với \( k \) là số tự nhiên).

### c) \( (4n + 9) : (2n + 1) \)

Biểu thức này có nghĩa là \( 4n + 9 \) chia cho \( 2n + 1 \). Để \( (4n + 9) : (2n + 1) \) là một số tự nhiên, ta cần điều kiện:

\[
\frac{4n + 9}{2n + 1}
\]

Sử dụng phép chia, ta có thể viết theo dạng thương và số dư:

\[
\frac{4n + 9}{2n + 1} = 2 + \frac{7}{2n + 1}
\]

Để thương này là một số tự nhiên, \( 2n + 1 \) phải chia hết cho \( 7 \). Vậy:

\[
2n + 1 = 7k \quad (k \text{ là số tự nhiên})
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
2n = 7k - 1 \Rightarrow n = \frac{7k - 1}{2}
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, \( 7k - 1 \) phải là số chẵn, tức là \( k \) phải là số lẻ.

- Khi \( k = 1 \) ⇒ \( n = 3 \)
- Khi \( k = 3 \) ⇒ \( n = 10 \)
- Khi \( k = 5 \) ⇒ \( n = 17 \)
- v.v…

Vậy \( n \) là \( 3, 10, 17, ... \) (tức là dạng \( n = 3 + 7(m) \) với \( m \) là số tự nhiên).

### Tóm tắt:
- a) \( n = 0, 1, 2, 5 \)
- b) \( n = 4, 9, 14, 19, ... \) (theo dạng \( 5k - 1 \)).
- c) \( n = 3, 10, 17, ... \) (theo dạng \( 7k - 1 \)).