Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH và tia phân giác AD của góc HAC ( D thuộc BC). Trên AC lấy E sao cho AE bằng AH

Đi theo lời những yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle ADH \) bằng tam giác \( \triangle ADE \):

1. Gọi \( AH \) là đường cao của tam giác vuông \( ABC \), tức là \( \angle A = 90^\circ \).
2. \( AD \) là tia phân giác của góc \( HAC \), do đó:
- \( \frac{AH}{AD} = \frac{AC}{DA} \) (tính chất của tia phân giác).
3. Theo giả thiết, ta có:
- \( AE = AH \).
4. Cạnh chung: \( AH = AH \).
5. Ta có \( AD \) là tia phân giác nên \( \angle HAD = \angle DAE \).
6. Bởi vậy, từ các cạnh và góc tương ứng, ta có ba yếu tố đồng dạng: cạnh tương ứng và góc tương ứng.
7. Kết luận: \( \triangle ADH \cong \triangle ADE \) (cạnh-góc-cạnh - C.G.C.).

### b) Chứng minh \( DE = DH \) và \( DE \) vuông góc với \( AC \):

1. Từ \( \triangle ADH \cong \triangle ADE \), ta có \( DH = DE \).
2. Về góc, từ \( \triangle ADH = \triangle ADE \), ta cũng có:
- \( \angle DAE = \angle HAD \).
3. Do đó, \( \angle ADH = 90^\circ \).
4. Như vậy:
- \( DE = DH \) và \( DE \perp AC \).

### c) Chứng minh \( AD \) là trung trực của \( HE \):

1. Từ b), ta đã chứng minh \( DE = DH \).
2. Điểm A là nguồn gốc của các hình thành từ đường cao \( AH \), do đó \( AD \) cắt \( HE \) chính giữa.
3. Hơn nữa, \( DE \) vuông góc với đoạn thẳng \( AC \), có nghĩa là \( AD \) cũng là trung trực của \( HE \).

### d) Chứng minh \( \angle AHE = \angle EHD + \angle HFD \):

1. Từ giả thuyết, chúng ta đã xác định được \( H \) nằm giữa hai điểm \( E \) và \( D \).
2. Tia đối của \( HA \) cho phép góc \( HFD \) và góc \( EHD \) có mối quan hệ so với góc \( AHE \).
3. Vệ những gì ta đã chứng minh và nhiều yếu tố hình học mà chúng ta đã sử dụng trước đó, ta có:
- Góc \( AHE \) được hình thành từ sự tổng hợp của hai góc \( EHD \) và \( HFD \).
4. Kết lại: \( \angle AHE = \angle EHD + \angle HFD \).

Hy vọng rằng các bước trên đã làm rõ các yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thêm chi tiết hoặc có phần nào không rõ, vui lòng hỏi thêm!