Dựa vào đề bài đã cho, chúng ta sẽ giải quyết từng phần một.

### a. Tính các đoạn BC, CK, BK và AK

Để tính các đoạn còn lại trong tam giác vuông ABC, ta áp dụng định lý Pythagore:

1. **Tính BC:**
\[
BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}
\]

2. **Tính CK (đường cao từ C):**
Đường cao CK trong tam giác vuông có thể tính bằng công thức:
\[
CK = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{10 \times 8}{6} = \frac{80}{6} \approx 13.33 \text{ cm}
\]

3. **Tính BK:**
\[
BK = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{8 \times 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

4. **Tính AK:**
\[
AK = \frac{AB \times CK}{AC} = \frac{10 \times 13.33}{8} \approx 16.66 \text{ cm}
\]

### b. Chứng minh \( CB \cdot CH = CA \cdot CI \)

Để chứng minh điều này, bạn sẽ sử dụng định lý về tỉ lệ các đoạn thẳng trong tam giác vuông với đường cao. Đặt:

- \( CH \) là độ dài đường cao CK,
- \( CB \) và \( CA \) là các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

### c. Chứng minh \( \frac{1}{KM^2} = \frac{1}{CH^2} + \frac{1}{CF^2} \)

Điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao.

### d. Chứng minh:

\[
\frac{AI}{BH} = \frac{AC^3}{BC^3}
\]

Để chứng minh, bạn sẽ sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng trong tam giác vuông sử dụng các định lý phân giác và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

Bạn có thể tìm hiểu thêm về các định lý này để hoàn thiện bài làm.