Chúng ta có thể giải bài toán này theo từng phần như sau:

### a. Tính AH, BC và ABC

1. **Tính AH**:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có \( AB \) là cạnh huyền và \( AH \) là đường cao.
- Sử dụng định lý đường cao: \( AH = \frac{AB \cdot BH}{AC} \).

Ta cần tính \( AC \) trước đã. Ta có thể sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 - BC^2
\]

2. **Tính BC**:
- Dựa vào thông tin đã cho: \( AB = 6 \, cm \), \( BH = 3 \, cm \). Suy ra \( AH \) sẽ được tính bằng:
\[
AH = \sqrt{AB \cdot BH} = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, cm.
\]

### b. Tia phân giác ABC tại D, cắt AC tại K. Tính \(\frac{AK}{BK}\) và \(\frac{DH}{BD}\)

- Sử dụng định lý tia phân giác:
\[
\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{DH}{BD} = \frac{AH}{BH}
\]

### c. Gọi E là hình chiếu của K trên BC. Chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{EC^2} + \frac{1}{AC^2}
\]

1. **Tính EC**:
- Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác chữ nhật **ECK**: \( EC^2 + AH^2 = AC^2 \)
- Kết hợp để chỉ ra sự tương quan có thể giống như đã nêu.

### Lời kết

Bằng cách thực hiện các phép tính và sử dụng các định lý, bạn có thể hoàn thành bài toán này. Nếu cần giúp đỡ cụ thể hơn trong từng bước tính toán, hãy cho tôi biết!