Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh: ΔABE đồng dạng với ΔACF

**Giải:**
- Trong tam giác nhọn ABC, ta có các góc sau:
- Góc ABE = góc ACF (cùng chung góc A)
- Góc AEB = 90° (do BE là đường cao)
- Góc ACF = 90° (do CF là đường cao)

Từ đó, ta có:
\[ \angle ABE = \angle ACF \]
\[ \angle AEB = \angle ACF = 90° \]

Theo tiêu chí góc-góc (G-G), ta có:
\[ ΔABE ∼ ΔACF \]

### b) Chứng minh: AD * HD = BD * DC và ΔAEF đồng dạng với ΔABC

**Giải:**
- Theo định lý đường cao trong tam giác, ta có:
\[
AD \cdot HD = BD \cdot DC
\]

Để chứng minh sự đồng dạng ΔAEF và ΔABC, ta cần chứng minh:
- ΔAEF có các góc tương ứng bằng nhau với ΔABC.

- Ta có các góc sau:
\(\angle AEF = \angle ABC\) (cùng chung đỉnh A và các cạnh tương ứng),
\(\angle AFE = \angle ACB\) (cùng chung đỉnh A và các cạnh tương ứng).

Do đó, ta có:
\[ \angle AEF = \angle ABC \]
\[ \angle AFE = \angle ACB \]

Vì vậy, theo tiêu chí G-G:
\[ ΔAEF ∼ ΔABC \]

### c) Chứng minh: EF // MN

**Giải:**
- Để chứng minh EF // MN, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về đường vuông góc và tương đồng.
- Ta có điểm M thuộc AB và điểm N thuộc AC sao cho:
- DM vuông góc với AB tại M
- DN vuông góc với AC tại N

Bây giờ, xét các góc:
- Vì DM vuông góc AB => \(\angle DMA = 90°\)
- Vì DN vuông góc AC => \(\angle DNA = 90°\)

Khi đó, do cả hai đường EF và MN đều vuông góc với các đường chéo trong tam giác, và vì ΔABE đồng dạng với ΔACF, suy ra:
- Ta có \( \angle AEF = \angle MON \)

Vì hai góc đối diện bằng nhau (cùng chung về phương hướng) cho thấy rằng EF // MN.

Từ đó, ta kết luận rằng EF // MN.

### Kết luận:
- a) ΔABE đồng dạng với ΔACF
- b) AD * HD = BD * DC và ΔAEF đồng dạng với ΔABC
- c) EF // MN.